Пусть АС = а, АЕ = х, ЕС = 3х. Тогда ВС = а + 12, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АВС:

(х)^2 + (а + 12)^2 = а^2 + (3х)^2

x^2 + a^2 + 24a + 144 = a^2 + 9x^2

24a + 144 = 8x^2

3a + 18 = 4x^2

Так как у трапеции острый угол равен 45 градусам, то классическая теорема о наперпендикулярности диагоналей в трапеции необязательно применима. Но можно воспользоваться тем, что диагональ и боковая сторона перпендикулярны и рассмотреть прямоугольные треугольники внутри трапеции.

Пусть CD = х, DE = у, OC = 2у, OD = 3у.По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике CDE:

(\sqrt{x^2 + y^2})^2 = (\sqrt{2y^2 + 10^2})^2

x^2 + y^2 = 2y^2 + 100

x^2 = y^2 + 100

Теперь рассмотрим треугольник BCD. По теореме Пифагора:

(\sqrt{x^2 + 10^2})^2 = (\sqrt{2y^2 + (3y)^2})^2

x^2 + 100 = 2y^2 + 9y^2

x^2 = 11y^2

Теперь мы имеем систему уравнений:

x^2 = y^2 + 100
x^2 = 11y^2

Решив данную систему, найдем значения диагоналей прямоугольника.