Для доказательства этой теоремы, рассмотрим две параллельные прямые (l_1) и (l_2), и произвольную прямую (m), перпендикулярную к (l_1) и (l_2) (см. рисунок).

Предположим, что точка (A) лежит на (m) и на (l_1), и точка (B) лежит на (m) и на (l_2).

Поскольку (m) перпендикулярна к (l_1), а (A) принадлежит (l_1), то отрезок (AB) будет кратчайшим расстоянием между (l_2) и (m).

Аналогично, так как (m) перпендикулярна к (l_2), а (B) принадлежит (l_2), то отрезок (AB) является кратчайшим расстоянием между (l_1) и (m).

Следовательно, все точки обеих прямых (l_1) и (l_2) равноудалены от прямой (m).

(\therefore) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

(\qed)