Пусть катет AB равен x см, а гипотенуза AC равна y см.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник, то известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

y^2 = x^2 + AB^2

Также известно, что разность гипотенузы и катета AB равна 4 см:

y - x = 4

Так как угол при вершине C равен 150 градусам, то угол при вершине A будет 90 градусов, и угол при вершине B будет 180 - 90 - 150 = 30 градусов. Таким образом, треугольник ABC будет являться треугольником 30-60-90.

Из свойств треугольника 30-60-90 известно, что соотношение сторон равно:

AB : BC : AC = 1 : √3 : 2

Таким образом, x : x√3 : 2x = 1 : √3 : 2, т.е. x = AB = 4√3.

Итак, катет AB равен 4√3 см.