а) Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

s = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника. Для треугольника KMP имеем a = 4, b = 5. Найдем сторону c с помощью теоремы косинусов:

c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 4 5 * cos(K)

где K - угол между сторонами a и b. Поскольку сторона c противолежащая этому углу, выразим угол K через синус:

sin(K) = sqrt(1 - cos^2(K))

Так как c - сторона, противолежащая основанию треугольника, выведем высоту h из прямоугольного треугольника:

h = sqrt(4^2 - (c / 2)^2) = sqrt(16 - c^2 / 4)

Получим, что площадь треугольника равна:

S = 0.5 4 h = 2 * sqrt(16 - c^2 / 4)

б) Для нахождения площади треугольника, описанного вокруг окружности, можно воспользоваться формулой для площади треугольника через радиус описанной окружности R:

S = a b c / (4R)

где R = a b c / sqrt((a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)), для треугольника KMP получаем:

S = 4 5 c / (4R) = 5c / R

в) Для нахождения площади треугольника, вписанного в окружность, используем формулу:

S = p*r

где r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр. Так как для треугольника KMP заданы стороны a = 4, b = 5, найдем сторону c и полупериметр:

c = sqrt(4^2 + 5^2 - 2 4 5 * cos(K))
p = (a + b + c) / 2

Площадь треугольника равна:

S = p*r