Пусть О - центр окружности, радиус которой равен r. Пусть точки А и В лежат на окружности, а хорда через них имеет длину а. Точки С и D также лежат на окружности, а хорда через них имеет длину b.

Так как расстояние от центра Окружности до хорды АВ равно r, то по теореме о перпендикуляре из центра окружности к хорде, мы можем провести отрезок ОМ, который будет перпендикулярен хорде АВ и проходит через ее середину. Очевидно, что он делит хорду АВ на две равные части, поэтому длина отрезка AM равна b/2. Аналогично проведем сегмент ОN, который также делит хорду CD пополам.

Так как расстояние от центра Окружности до хорды CD равно r, то длина отрезка ОN равна а/2.

Теперь рассмотрим треугольник ОМN. Очевидно, что он равнобедренный (так как ОМ и ОN - радиусы окружности), и у него равны два угла: угол ОMN и угол ОNM, так как он равнобедренный.

Теперь проанализируем треугольники ОAM и ОDN. Так как у треугольника ОМN равны два угла, то стороны ОМ и ОN равны, что равносильно равенству сторон ОА и ОD, и сторон ОB и ОC.

Таким образом, мы доказали, что хорды равны.