Для доказательства того, что четырехугольник АВСД является прямоугольником, необходимо проверить выполнение двух условий:

Векторы, образованные сторонами смежных точек, должны быть равны по модулю и перпендикулярны друг другу.

Диагонали должны быть равны.

Найдем векторы направления сторон четырехугольника:

Вектор AB = В - А = (0 - (-3); 3 - 0) = (3; 3)

Вектор BC = С - B = (2 - 0; 1 - 3) = (2; -2)

Вектор CD = Д - С = (-1 - 2; -2 - 1) = (-3; -3)

Вектор DA = А - Д = (-3 - (-1); 0 - (-2)) = (-2; 2)

Проверяем сначала условие №1:

AB BC = 32 + 3*(-2) = 6 - 6 = 0

BC CD = 2(-3) + (-2)(-3) = -6 + 6 = 0

CD DA = -3(-2) + (-3)*2 = 6 - 6 = 0

DA AB = -23 + 2*3 = -6 + 6 = 0

Вектора, образованные сторонами смежных точек, оказались перпендикулярными, что означает, что четырехугольник АВСД - прямоугольник.

Теперь проверим условие №2:

Диагональ AC = С - А = (2 - (-3); 1 - 0) = (5; 1)

Диагональ BD = Д - В = (-1 - 0; -2 - 3) = (-1; -5)

Длина диагонали AC: √(5^2 + 1^2) = √(25 + 1) = √26

Длина диагонали BD: √((-1)^2 + (-5)^2) = √(1 + 25) = √26

Диагонали AC и BD оказались равными, что подтверждает, что четырехугольник АВСД - прямоугольник.