Площадь боковой поверхности пирамиды SABC равна сумме площадей трех равных треугольников SAB, SAC, SBC.

Площадь треугольника SAB равна ( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SQ ),
площадь треугольника SAC равна ( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SQ ),
площадь треугольника SBC равна ( \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SQ ).

Так как SQ = 28, то площадь боковой поверхности пирамиды равна
( \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot (AB + AC + BC) = 294 ),
( 14 \cdot (AB + AC + BC) = 294 ),
( AB + AC + BC = 21 ) (1).

Также по условию Q - середина ребра AB, поэтому AB = 2 * AQ,
и по теореме Пифагора в треугольнике AQS получаем
( AQ^2 + SQ^2 = AS^2 ),
( AQ^2 + 28^2 = AS^2 ),
( AQ^2 + 784 = AS^2 ) (2).

Из равенства треугольников SAB, SBC получаем ( AQ = QS ),
так как в треугольнике SQB углы ASQ и SBC равны, а углы BQS и ASB равны, значит эти треугольники равны, и отсюда следует, что AQ= QS= AS.

Так как SQ = 28, то AS = 28.

Подставим AS в (2):
( AQ^2 + 784 = 28^2 ),
( AQ^2 = 784 - 28^2 ),
( AQ^2 = 784 - 784 ),
( AQ^2 = 0 ),
( AQ = 0 ).

Следовательно, отрезок АQ совпадает с отрезком AS, и они оба равны 28.

Из этого следует, что отрезок BC равен 21 - 28 = -7.

Таким образом, длина отрезка BC равна 7.