Для начала найдем длину стороны AB, используя теорему Пифагора:

AC^2 + BC^2 = AB^2

4^2 + BC^2 = AB^2

16 + BC^2 = AB^2

BC^2 = AB^2 - 16

Так как треугольник прямоугольный, то sinB = BC/AB

sinB = BC/AB

1/√5 = BC/AB

BC = AB/√5

Теперь подставим BC из выражения выше в уравнение для стороны AB:

AB^2 - 16 = (AB/√5)^2

AB^2 - 16 = AB^2/5

5AB^2 - 80 = AB^2

4AB^2 = 80

AB^2 = 20

AB = √20 = 2√5

Теперь можем найти AH, используя тот факт, что AH = CH + HC:

AH = CH + HC

AH = sinB * AC + AC

AH = (1/√5) * 4 + 4

AH = 4/√5 + 4

AH = 4√5/5 + 4

AH = 4(√5 + 5)/5

2√5 * AH = 8(√5 + 5) / 5 = (8√5 + 40) / 5 = 8√5/5 + 8

Ответ: 8√5/5 + 8.