Для начала найдем длины катетов треугольника ABC.

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а длины катетов треугольника равны b и a (где a — катет, лежащий напротив угла A, а b — катет, лежащий напротив угла B).

Так как радиус вписанной окружности является радиусом круга, вписанного в прямоугольный треугольник, то площадь этого круга равна площади треугольника, а также равна полупериметру треугольника умноженному на радиус вписанной окружности.

S = r * p, где r = 2см, p = (a + b + 10) / 2

Также известно, что S = (a * b) / 2. Подставляем значение S в формулу площади треугольника:

(a b) / 2 = 2 (a + b + 10) / 2

a b = 2 (a + b + 10)

Подставляем в данное уравнение известные значения и находим a и b.

10 = 2 * (a + b + 10)

a + b = 0

Из данного уравнения видно, что сумма катетов равна нулю, что невозможно. Решение некорректно.

Следовательно, прямоугольного треугольника с такими условиями не существует.