Для начала найдем высоту параллелепипеда:

Пусть высота параллелепипеда равна h.

Так как диагональ наклонена к основанию параллелепипеда под углом 45°, то мы можем построить прямоугольный треугольник со сторонами h, 5 и 12.

Так как угол между гипотенузой и катетами 45°, то данный треугольник является равнобедренным. Поэтому у нас есть два равных угла, и катеты h и 5 равны.

Используем тригонометрию:

cos(45°) = 5/h

h = 5 / cos(45°) = 5 / √2 = 5√2 / 2.

Теперь найдем площадь поверхности параллепипеда:

S = 2 * (Sосн + Sбок + Sбок)

где Sосн - площадь основания, Sбок - площадь боковой поверхности.

Sосн = 5 * 12 = 60 см²

Sбок = 2 (5 h + 12 h) = 2 (5 5√2/2 + 12 5√2/2) = 2 * (25√2 + 60√2) = 170√2 см²

S = 2 * (60 + 170√2) = 120 + 340√2 ≈ 605,22 см²

Ответ: площадь поверхности прямоугольного параллепипеда равна примерно 605,22 см².