Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов.

Обозначим длину катета AC как a, а длину гипотенузы BC как c. Тогда, применим теорему синусов к треугольнику ABC:
sin A = a / c
sin 30 = a / c
1/2 = a / c
a = c / 2

Также, так как ВМ - биссектриса, то AM = MC. Обозначим длину отрезка AM как x, тогда отрезок MC также равен x. Из углового треугольника, образованного биссектрисой и катетами, следует:
tg 30 = x / a
1/sqrt(3) = x / (c / 2)
c = 2 sqrt(3) x

Так как ВМ = 6 см, то x = 6 / 2 = 3 см.
Подставим полученное значение x в выражение c = 2 sqrt(3) x:
c = 2 sqrt(3) 3 = 6 * sqrt(3) см

Наконец, подставим полученное значение c в выражение a = c / 2:
a = (6 sqrt(3)) / 2 = 3 sqrt(3) см

Таким образом, длина катета AC равна 3 * sqrt(3) см.