Пусть сторона правильного треугольника равна а.

Радиус вписанной окружности равен r = 8П / $2П$ = 4 см.

Радиус описанной окружности равен R = а / √3.

По формуле считаем площадь кольца:

Sкольца = πR^2 - πr^2 = π*${а}^2/3-16$.

Так как треугольник правильный, его сторона а связана с радиусом описанной окружности R следующим образом: а = 2R√3.

Из этого получаем, что а^2/3 = 4R^2.

Следовательно, Sкольца = π*$4R^2-16$ = 4πR^2 - 16π.

Значит, Sкольца = 4π ${а}^2/3$ - 16π = 4π $2R\surd 3$^2 / 3 - 16π = 4π * 12R^2 / 3 - 16π = 16πR^2 - 16π = 16πR^2 - 16π, что искомая формула.