Для нахождения боковой стороны AB трапеции ABCD воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим сторону AB как "a".

Из угла ABC=45°, угла BCD=120° и трапеции ABCD следует, что угол BAD = 180° - угол ABC - угол BCD = 15°.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ACD:
AC² = AD² + CD² - 2ADCD*cos(15°).

Найдем значение угла ADC:
180° - угол CAD - угол CDA = 180° - 45° - 120° = 15°.

Зная, что угол BAC = 180° - ABC = 135°, то угол CAD = 135° - 45° = 90°.

Теперь рассчитаем сторону AC:
AC² = AD² + CD² - 2ADCDcos(15°),
AC² = (a + a√2)² + (11√6)² - 2(a + a√2)(11√6)cos(15°),
AC² = a²(1 + 2√2 + 2) + 611² - 211√6a(√3 + 1) cos(15°),
AC² = a²(3 + 2√2) + 726 - 211a√6(√3 + 1) * cos(15°).

Так как угол ADC = 180° - 45° - 90° = 45°, то из уравнения углового косинуса:
cos(45°) = - cos(15°) => cos(15°) = -cos(45°),
получаем:
AC² = a²(3 + 2√2) + 726 + 211a√6(√3 + 1) cos(45°).

Из уравнения косинусов для треугольника ABC:
AC² = a² + a² - 2a²cos(45°),
AC² = a² + a² + 2a²(1/√2) = 2a²(2 + √2).

Таким образом, получаем:
2a²(2 + √2) = a²(3 + 2√2) + 726 + 211a√6(√3 + 1) cos(45°),
а = √6.

Таким образом, боковая сторона AB трапеции равна 6√6.