Пусть основания трапеции равны a и b, а высота h.

Тогда площадь трапеции равна S = (a + b) * h / 2.

Так как средняя линия делит площадь трапеции в отношении 5:7, то S1 = 5/12 S и S2 = 7/12 S, где S1 и S2 - площади треугольников MST и NST.

Так как ST = 27, то площади треугольников равны S1 = 5/12 S = 5/12 (a + b) h / 2 и S2 = 7/12 S = 7/12 (a + b) h / 2.

Таким образом, получаем уравнения:
5/12 (a + b) h / 2 = 27 h / 2,
7/12 (a + b) h / 2 = (a + b) h / 2 - 27 * h / 2.

Упрощаем уравнения:
5/12 (a + b) = 27,
7/12 (a + b) = (a + b) - 27.

Решаем систему уравнений:
5/12 (a + b) = 27,
7/12 (a + b) = a + b - 27.

Умножаем первое уравнение на 7 и второе на 5:
35/12 (a + b) = 189,
35/12 (a + b) = 5(a + b) - 135.

Приравниваем правые части уравнений и находим a + b:
5(a + b) - 135 = 189,
5(a + b) = 324,
a + b = 64.8.

Таким образом, длины оснований трапеции равны 64.8.