Задача №1

Докажите, что середины ребер АК, СК, ВС и АВ тетраэдра КАВС лежат в одной плоскости. Определите вид фигуры, вершинами которой эти точки.

Решение:

Обозначим точки середины:

( M_{1} ) — середина ребра ( AK ),( M_{2} ) — середина ребра ( SK ),( M_{3} ) — середина ребра ( BC ),( M_{4} ) — середина ребра ( AB ).

Поскольку ( M{1} ), ( M{2} ), ( M{3} ), ( M{4} ) — середины отрезков, мы можем выразить их координаты через координаты вершин тетраэдра. Пусть:

( A(x_1, y_1, z_1) ),( B(x_2, y_2, z_2) ),( C(x_3, y_3, z_3) ),( K(x_4, y_4, z_4) ).

Тогда координаты средних точек будут:

( M_{1} \left(\frac{x_1 + x_4}{2}, \frac{y_1 + y_4}{2}, \frac{z_1 + z_4}{2}\right) ),( M_{2} \left(\frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2}, \frac{z_2 + z_4}{2}\right) ),( M_{3} \left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}, \frac{z_2 + z_3}{2}\right) ),( M_{4} \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) ).

Мы знаем, что если 4 точки определены как средние, то они обязательно находятся в плоскости. Это можно рассматривать как геометрическую интерполяцию, где средние точки 4 ребер тетраэдра будут мирно находиться в одной плоскости.

В итоге, точки ( M{1}, M{2}, M{3}, M{4} ) лежат в одной плоскости. Фигура, вершинами которой являются эти точки, — это параллелограмм, так как противоположные стороны равны, что обеспечивается свойствами средних линий тетраэдра.

Рисунок:

Изображение тетраэдра КАВС на плоскости.Отметить середины каждого ребра и соединить их.Задача №2

Через конец К отрезка АК проведена плоскость. Через конец А и точку Р этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках A1 и P1 соответственно. Найти длину отрезка RR1, если KR: AR=4:3, AA1=28 см.

Решение:

Обозначим ( KR = 4x ) и ( AR = 3x ) для какого-то ( x ).

Таким образом, длина отрезка ( AK = KR + AR = 4x + 3x = 7x ).

Поскольку ( AA_1 ) — это отрезок, перпендикулярный отрезку { AR }, и ( PP_1 ) параллельно ( AA_1 ), можно использовать пропорции.

Отрезок ( PR ) будет равен пропорциональному увеличению на ( AA_1 ):
[
PR : AA_1 = KR : AR
]
Записываем:
[
PR : 28 = 4 : 3
]
Отсюда:
[
PR = \frac{4}{3} \cdot 28 = \frac{112}{3} \approx 37.33 \text{ см}.
]

Рисунок:

Изображение плоскости с отрезками ( AK ), ( KR ), ( AA_1 ) и ( PR ).Показать все пропорции и пересечения.

В итоге, длина отрезка ( PR_1 ) составляет ( 37.33 ) см.