Для решения задачи начнем с определения необходимых длины и координат.

Поскольку треугольник MNK равнобедренный, расположим его в координатной системе для упрощения расчетов. Пусть точки $M$ и $K$ будут иметь координаты $M(0,0)$ и $K(10,0)$. Найдем координаты точки $N$.

Поскольку MN = NK = 20 см, можно использовать теорему о длине отрезка, чтобы найти координаты точки $N$. Пусть координаты точки $N$ будут $N(x,y)$. Тогда:

$$M{N}^2=x^2+y^2=20^2=400$$ $$N{K}^2=(x-10{)}^2+y^2=20^2=400$$

Раскроем квадрат в уравнении для $NK$:

$$(x-10{)}^2+y^2=400$$ $$x^2-20x+100+y^2=400$$

Теперь можем подставить $x^2+y^2=400$:

$$400-20x+100=400$$ $$-20x+100=0$$ $$x=5$$

Теперь подставим $x=5$ в уравнение $x^2+y^2=400$:

$$5^2+y^2=400$$ $$25+y^2=400$$ $$y^2=375$$ $$y=\sqrt{375}=5\sqrt{15}$$

Таким образом, координаты точки $N$ равны $N(5,5\sqrt{15})$.

Теперь перейдем к точке $A$ на стороне $NK$. Мы знаем, что $AK:AN=1:3$. Это значит, что $A$ делит отрезок $NK$ в соотношении 1:2.

Сначала найдем длину отрезка $NK$. Поскольку $N(5,5\sqrt{15})$ и $K(10,0)$:

$$NK=\sqrt{(10-5{)}^2+(0-5\sqrt{15}{)}^2}=\sqrt{5^2+(5\sqrt{15}{)}^2}=\sqrt{25+375}=\sqrt{400}=20$$

Теперь найдем координаты точки $A$. Поскольку $A$ делит $NK$ в соотношении 1:2, мы можем использовать формулу деления отрезка в заданном отношении:

$$A=\left(\frac{10\cdot 1+5\cdot 2}{1+2},\frac{0\cdot 1+5\sqrt{15}\cdot 2}{1+2}\right)=\left(\frac{10+10}{3},\frac{0+10\sqrt{15}}{3}\right)=\left(\frac{20}{3},\frac{10\sqrt{15}}{3}\right)$$

Наконец, находим $AM$:

$$AM=\sqrt{{\left(\frac{20}{3}-0\right)}^2+{\left(\frac{10\sqrt{15}}{3}-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{20}{3}\right)}^2+{\left(\frac{10\sqrt{15}}{3}\right)}^2}$$ $$=\sqrt{\frac{400}{9}+\frac{1500}{9}}=\sqrt{\frac{1900}{9}}=\frac{\sqrt{1900}}{3}=\frac{10\sqrt{19}}{3}$$

Итак, длина отрезка $AM$ равна $\frac{10\sqrt{19}}{3}$ см.