Чтобы решить задачу, сначала нужно рассмотреть параметры коники и прямой на координатной плоскости.

Пусть коника задана уравнением ( F(x, y) = 0 ), где ( F ) — это многочлен второй степени. Наиболее общие формы коники — это эллипс, гипербола и парабола. Однако мы предположим, что у нас есть конус типа ( F(x, y) = Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 ), где коника не пересекается с прямой.

Предположим, что прямая задана уравнением ( y = mx + b ) и не пересекает конику. Для точки ( (x_0, y_0) ) на этой прямой, чтобы найти касательные к конике, которые проходят через неё, можно применить метод нахождения касательной.

Для коники мы можем использовать производные, чтобы найти уравнения касательных. Для произвольной точки на конике ( (x_1, y_1) ) касательная будет иметь вид:
[
F_x(x_1, y_1)(x - x_1) + F_y(x_1, y_1)(y - y_1) = 0,
]
где ( F_x ) и ( F_y ) — частные производные функции ( F ) по ( x ) и ( y ).

Для того чтобы эта касательная проходила через заданную точку прямой, нужно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению касательной. Параметризуем процесс получения касательных к конусе.

Подставляя ( y = mx + b ) в уравнение касательной, мы можем выразить ( x ) и ( y ) и далее определить условия, которые необходимо для выполнения, чтобы касательные пересекались с прямой.

После обработки этих уравнений, мы получим уравнение второй степени относительно координат ( x ) и ( y ). Это уравнение будет описывать множество точек касательных, которые пересекают прямую.

Теперь, со стороны синтетической геометрии, полученное геометрическое место — это коническое сечение (в частности, это может быть парабола или другая коника), поскольку конечные точки касательных, проведенных из одной прямой и не пересекающих конику, будут расположены на некоторой симметричной фигуре, в зависимости от того, как они расположены относительно коники.

Таким образом, мы можем утверждать, что геометрическое место точек пересечения касательных, проведенных к конике и проходящих через заданную прямую, является коническим сечением, которое определяется как результат взаиморасположения коники и прямой.