Обозначения и постановка. Пусть ABC — искомый треугольник. Через A опущена высота AH (H — основание высоты на BC), через A опущен медиана AM (M — середина BC). Даны числа m = AM, h = AH и угол φ = ∠MAH. Требуется построить треугольник (когда это возможно), описать условие совместимости и обосновать конструкцию.

Необходимое условие совместимости.
Рассмотрим проекцию точки M на прямую AH. Пусть P — проекция M на прямую AH. Тогда AP = AM·cosφ = m cosφ. Если у данного треугольника P совпадает с H (то есть проекция M на AH — это основание высоты), то AP = AH = h, откуда
m cosφ = h.
Иначе H ≠ P и прямые BC и AH не будут перпендикулярны, следовательно исходные данные не соответствуют никакому треугольнику. Таким образом необходимое условие:
m cosφ = h.
Из этого также следует 0 < h < m (потому что cosφ < 1 для некуловой угла φ и h>0).

Итого: данные совместимы тогда и только тогда, когда 0 < h < m и cosφ = h/m (или φ = arccos(h/m)).

Конструкция (если условие выполнено).
Даны отрезки длины m и h и угол φ (с выполненным условием m cosφ = h).

a) Проведите в произвольной точке A две лучи формирующие угол φ (угол ∠MAH).
b) На одном луче от A отложите отрезок AH длины h — получаете точку H.
c) На другом луче от A отложите отрезок AM длины m — получаете точку M. По условию m cosφ = h проекция M на AH совпадёт с H, поэтому прямая HM перпендикулярна AH и есть прямая BC. Проведите прямую через H и M — это прямая BC.
d) Чтобы получить конкретный треугольник, выберите на прямой BC любую точку B (не равную M) и симметрично относительно M постройте точку C (отражение B через M). Тогда M — середина BC по построению, H — основание высоты (AH ⟂ BC), длины AM и AH равны заданным; следовательно ABC — искомый треугольник.
(Если требуется, чтобы H лежало между B и C — возьмите B на одном из полуотрезков BC так, чтобы H оказалась между B и C.)

Замечание о единственности. Как видно из конструкции, если данные совместимы, треугольник не единственен: фиксированы A, направление BC (через H и M) и точки H и M, но выбор B (и симметрично C) вдоль этой прямой даёт бесконечно много треугольников с одними и теми же m, h и φ. Два варианта (верхний/нижний относительно AH) дают симметричные треугольники.

Обоснование корректности.
По построению AH = h, AM = m и ∠MAH = φ. По линии HM получаем BC, и, так как AP = AM cosφ = m cosφ = h = AH, проекция M на AH совпадает с H, значит MH ⟂ AH, т.е. AH ⟂ BC, значит H — основание высоты. По выбору точек B и C (симметричных относительно M) M — середина BC, значит AM — медиана. Следовательно полученный треугольник удовлетворяет всем заданным данным.

Краевые случаи.
Если m = h, то из m cosφ = h следует cosφ = 1 и φ = 0 — медиана и высота совпадают по направлению, но тогда M = H и прямая BC вырождается; треугольника нет. Если cosφ ≠ h/m, то данных для построения треугольника с требуемыми параметрами недостаточно (совместимости нет).

Краткая формулировка ответа: данные совместимы тогда и только тогда, когда m > h > 0 и cosφ = h/m. Тогда конструкция: в A построить угол φ, на одном луче отложить AH = h, на другом AM = m, провести прямую через H и M — это BC; взять любую точку B на BC и симметрично относительно M установить C. Это даёт требуемый треугольник (семейство решений).