Рассмотрим задачу: по заданной стороне a = |BC|, медиане AM = m (M — midpoint BC) и высоте AH = h на ту же сторону (H ∈ BC) построить треугольник ABC циркулем и линейкой; установить условия разрешимости и число решений и дать аналитическое обоснование.

Координатный (аналитический) вывод (самый простой).

Положим BC на ось Ox так, чтобы M = (0,0), B = (−a/2,0), C = (a/2,0).Пусть A = (x,y). Так как AH — высота на BC, расстояние от A до прямой BC равно h, поэтому |y| = h. Возьмём y = h (второй симметричный вариант y = −h даёт зеркальное решение).Медиана AM имеет длину m, значит
x^2 + y^2 = m^2.
Подставляя y^2 = h^2, получаем
x^2 = m^2 − h^2.
Отсюда x = ±√(m^2 − h^2).

Требование, чтобы проекция H точки A лежала на самом отрезке BC (а не на продолжении), это |x| ≤ a/2. И также должно быть реальное x, т.е. m^2 − h^2 ≥ 0.

Итак, условия существования треугольника с заданными a, m, h:

m ≥ h (чтобы x было вещественно).m^2 − h^2 ≤ (a/2)^2 (чтобы H принадлежал отрезку BC).

Если одно из условий нарушено — построение невозможно.

Число решений:

Если m < h — решений нет.Если m = h, то x = 0, точка A лежит строго над/под серединой M (единственное положение A вдоль оси перпендикуляра к BC). С учётом симметрии относительно прямой BC есть два зеркальных по отношению к BC положения (y = +h и y = −h), но эти два треугольника конгруэнт; если считать разные зеркальные ориентации различными — два, иначе один (обычно считают конгруэнтные/зеркальные треугольники одним решением).Если m^2 − h^2 ∈ (0,(a/2)^2) — существуют две позиции x = +√(...) и x = −√(...). Они дают две точки A, расположенные по разные стороны от M; обе дают разные (в плане расположений относительно отметок B и C) треугольники, но они взаимоотражаемы через срединную перпендикулярную прямую и потому конгруэнт. Итого: два расположения в плане, одно по классу конгруэнтности.Если m^2 − h^2 = (a/2)^2 — два решения с x = ±a/2, в которых высота опускается в одну из вершин B или C (H совпадает с B или C). Получаем два плановых решения (зеркальные), конгруэнтных.

Построение циркулем и линейкой (практические шаги).

Построить отрезок BC длины a.Найти его середину M (построить перпендикулярный биссектор или пересечение кругов с радиусом > a/2).Построить окружность с центром M и радиусом m.Через любую точку прямой, перпендикулярной к BC, провести прямые, параллельные BC и отстоящие от BC на расстояние h (проще: на одной стороне BC построить перпендикуляр, отложить на нём отрезок h, затем через полученную точку провести прямую, параллельную BC).
Технически это делается так: через B провести перпендикуляр к BC, на нём отложить от B расстояние h (компасом) вверх; через полученную точку провести линию, параллельную BC (по двум точкам можно провести параллель).Найти точки пересечения окружности (центр M, радиус m) с линиями, отстоящими от BC на расстояние h. Эти пересечения — возможные положения вершины A (по обеим сторонам BC).Для каждой полученной точки A опустить перпендикуляр на BC, отметить H и соединить A с B и C — получим треугольник ABC.

Пояснения по проверке условий на практике:

Если окружность не пересекает линию на расстоянии h, пересечений нет → нет решения. Это соответствует m^2 − h^2 < 0 или m^2 − h^2 > (a/2)^2 в координатной формуле (в первом случае нет вещественного x, во втором — пересечения есть, но проекции выходят за отрезок BC; геометрически при m^2 − h^2 > (a/2)^2 окружность может пересекать параллельную линию, но соответствующая точка будет иметь |x| > a/2, то есть высота упадёт не на отрезок BC, а на его продолжение — это не допускается по условию задачи).

Краткая итоговая формула для абсциссы A (в системе, где M = 0 и ось y перпендикулярна BC):
x = ±√(m^2 − h^2), y = ±h,
и требование |x| ≤ a/2.

Таким образом: задача разрешима тогда и только тогда, когда m ≥ h и m^2 − h^2 ≤ (a/2)^2; в разрешимом случае обычно даётся два плановых положения вершины A (симметричные относительно M), которые дают конгруэнтные треугольники (в особых случаях — единственное положение, когда m = h или когда x = 0).