Задача: в треугольнике ABC дано две прямые через вершину A — внутренняя биссектриса и медиана. На каждой из этих прямых $включаяихпродолжения$ требуется найти точку P, для которой произведение расстояний PB·PC минимально. Надо предложить алгоритм построения такой точки и проанализировать зависимость решения от формы треугольника.

Общий подход и замечания

Для любой фиксированной прямой L через A функция F$P$ = PB·PC, где P пробегает эту прямую, непрерывна и стремится к +∞ при удалении P в оба направления вдоль прямой, поэтому минимум достигается и существует по крайней мере одна точка P на L $возможнонаеёпродолжении$.При задаче «минимизировать произведение» удобно работать с логарифмом φ$P$ = ln PB + ln PC — критические точки φ'$P$=0 совпадают с критическими точками PB·PC. Производная вдоль прямой L даёт условие
u·$(P-B)/|P-B{|}^2+(P-C)/|P-C{|}^2$ = 0,
где u — единичный вектор вдоль L $этогеометрическаяформауравненияэкстреума$.В общем случае при параметризации P$t$=A + t u уравнение для стационарных точек — многочленная $вобщемслучаекубическая$ в t. Это означает, что для произвольной прямой через A общее аналитическое $итемболеестрогораставленное«рулеткой-циркулем»$ решение в виде конечной конструкции не всегда выражается элементарно; однако для двух конкретных прямых $медианыибиссектрисы$ можно дать более детальный разбор: для медианы получается простая и конструктивная формула; для биссектрисы в общем случае получается более сложное уравнение $обычнорешаетсячисленноилиалгебраически$.

1) Медиана $прямаячерезA,проходящаячерезсерединуBC$ Пусть M — середина BC, пусть d = MB = MC, и пусть медиана задаётся направлением, образующим с линией BC угол θ. Параметризуем точки на медиане через M: P = M + t·u, где u — единичный вектор направления медианы (t>0 в сторону вершины A, t<0 — в сторону продолжения за M). Тогда $посчитавP{B}^2иP{C}^2иихпроизведение$ получаем явную зависимость
F$t$^2 = $d^2+t^2$^2 − 4 d^2 t^2 cos^2 θ
и для экстремума по переменной s = t^2 получаем квадратичное уравнение, дающее
t^2 = d^2 · cos 2θ. $1$

Анализ и конструкция:

Если cos 2θ ≤ 0 $этоэквивалентно\theta \ge 45°$, то правая часть ≤ 0, следовательно на действительной оси s ≥ 0 единственный минимум достигается при s = 0, то есть при t = 0, то есть в точке P = M. Иначе (cos2θ>0) существует единственный ненулевой положительный корень t = d·√$cos2\theta$ — это абсцисса точки P относительно M; эта точка и даёт глобальный минимум на прямой.Геометрическая конструкция. Все величины в формуле $d=MBизвестен,угол\theta известен$ конструктивно строим:
находим M $серединаBC$;измеряем угол θ между медианой и BC, строим угол 2θ и вычисляем cos2θ $можнопостроитьотрезок,длинакоторогопропорциональнаcos2\theta ,применяястандартныепостроениячерезправыетреугольникииличерезпроекции$;отрезок t = d·√$cos2\theta$ строится как умножение/извлечение корня из известного отрезка $стандартныепостроениясциркулемилинейкойпозволяютполучить\surd (числа)призаданныхотрезках$ — если cos2θ положителен.откладываем от M отрезок длины t вдоль медианы в сторону A — получаем точку P. Если cos2θ ≤ 0, то P = M.Интерпретация. Частный случай: если медиана совпадает с биссектрисой и высотой $т.е.треугольникравнобедренный$, то θ = 90° − α/2 и анализ даёт P = M. В общем, для «крутого» наклона медианы $\theta \ge 45°$ минимум на медиане — в середине BC; если медиана «малонаклонна» (θ < 45°), минимум сдвигается от M внутрь/наружу вдоль медианы на расстояние $1$.

2) Биссектриса $внутренняябиссектрисауглаA$ Для биссектрисы есть дополнительная симметрия: единичный вектор u вдоль биссектрисы образует равные углы с векторами AB и AC. Обозначим p = |AB|, q = |AC| и k = cos$уголмеждуuиAB$ = cos$уголмеждуuиAC$ $тоестьk=cos(\phi ),где\phi =уголмеждубиссектрисойиAB$. Подставив в выражения для |P−B|^2 и |P−C|^2 мы получаем для P = A + t u два квадратичных множителя
f1$t$ = t^2 − 2 k p t + p^2,
f2$t$ = t^2 − 2 k q t + q^2,
и функция F^2$t$ = f1$t$ f2$t$. Условие F'$t$=0 даёт в общем кубическое уравнение относительно t.

Последствия:

В общем случае для биссектрисы стационарное уравнение порождает кубическое уравнение, то есть закрытой конструкции некоторого простого вида $однимциркулемилинейкой$ для общей тройки длин p,q и угла φ не существует в общем виде; однако решение всегда можно получить алгебраически $решениемкубического$ или численно.Тем не менее есть частные ситуации, где решение простое и конструктивное:
если p = q $AB=AC$, т. е. треугольник равнобедренный $биссектриса=медиана$, предыдущая формула для медианы применяется и минимум достигается в M;если параметры дают редуцирование кубики до квадратики $справедливодлянекоторыхсимметрий$, то задача сводится к квадратному уравнению и решается классическим построением.Практический алгоритм $дляреальныхпостроений/задач$:
Выписать координаты/векторы A,B,C или измерять численно AB и AC и направление биссектрисы.Параметризовать P = A + t u и вычислить функцию f$t$ = |P−B|·|P−C| $численно$.Найти минимум f$t$ численным способом $методНьютонадляуравненияf^{\prime }(t)=0,илиодномерныйметодзолотогосечения/тернарногопоисканаотрезке,содержащемминимум;таккакf(t)\to \infty приt\to \pm \infty ,минимумгарантированиобычноединственный$.Полученный t даёт требуемую точку P на биссектрисе. Это практичный и надёжный алгоритм для точной геометрической построительной задачи $черезделениеотрезковвзаданноммасштабеипостроениепочисленнымзначениям$.

3) Краткий итог / зависимости от формы треугольника

Для медианы существует простая явная формула $1$. В частности:
если угол между медианой и BC ≥ 45°, то минимум на медиане достигается в середине BC;если угол < 45°, то минимум отстоит от M на расстояние t = d·√$cos2\theta$ в сторону вершины A $приположительномt$ — точка находится либо на отрезке AM, либо на его продолжении, в зависимости от величины t и расположения A.Для биссектрисы в общем случае нужно решать кубическое уравнение, поэтому нет единой простой «рулеточно‑циркулевой» конструкции во всех случаях; в частных симметричных случаях $равнобедренныйтреугольникит.п.$ решение совпадает с медианой/серединой BC.В любом конкретном численном/построительном задании наиболее надёжный алгоритм — численный поиск минимума вдоль прямой $методНьютона,методзолотогосеченияилипростойодномерныйпоиск$, либо алгебраическое решение получающегося уравнения $квадратное/кубическое$, если требуются точные формулы.

Резюме алгоритмов для практического применения

Медиана: применить формулу $1$; при cos2θ ≤ 0 взять P = M; иначе отложить от M вдоль медианы расстояние t = d·√$cos2\theta$.Биссектриса: в общем случае найти t, решив F'$t$=0 численно $илиалгебраически,еслихотитеточныйкоренькубического$; в частных симметричных случаях сводится к медиане и тогда действует предыдущая конструкция.

Если хотите, могу:

привести полный выведенный шаг за шагом алгебраический вывод для медианы $сподробнымпостроением—какрукамиполучитьотрезокtсциркулем/линейкой$, илизаписать явно кубическое уравнение для биссектрисы и показать численный алгоритм $Newton/золотоесечение$ с примерами и иллюстрацией при конкретных числах AB, AC, угле A.