Надо сначала уточнить, какие именно точки по условию: в тетраэдре ABCD традиционно рассматривают

G — точку пересечения медиан $тоестьточку,вкоторуювписываетсякаждаямедианаотвершиныкцентрупротивоположнойграни$; это же — центр масс четырёх вершин при равных массах;I — центр вписанной сферы $инцентр$ — точка, равноудалённая от всех четырёх плоскостей-граней;O — центр описанной сферы $циркумцентр$ — точка, равноудалённая от всех четырёх вершин.

Далее везде под «центром масс вершин» будем понимать центр масс при равных массах — он совпадает с точкой пересечения медиан G. Поэтому у нас три существенные точки: G, I, O.

Я приведу точные описания этих точек в координатах / барицентриках и затем перечислю и докажу все естественные отношения и характерные частные случаи $совпадения,коллинеарностиит.п.$.

1) G — центр масс $пересечениемедиан$.
Определение и простая формула в векторной форме. Если позиции вершин заданы векторами a, b, c, d, то
G = $a+b+c+d$/4.
Отсюда немедленно следует, что «точка пересечения медиан» и «центр масс вершин $равныхмасс$» — одно и то же $иэтонечастный,аобщийфактдлялюбогоn‑мерногосимплекса$.

2) Формула для I $инцентра$ в барицентрических координатах.
Пусть S_A, S_B, S_C, S_D — площади граней, противоположных вершинам A, B, C, D соответственно $т.е.S_A=[BCD]ит.п.$. Тогда в барицентрических координатах относительно вершин A,B,C,D инцентру соответствует набор коэффициентов, пропорциональный $S_A,S_B,S_C,S_D$. В векторном виде
I = $S_A\cdot a+S_B\cdot b+S_C\cdot c+S_D\cdot d$ / $S_A+S_B+S_C+S_D$.

Доказательство $коротко$. Пусть r — радиус вписанной сферы; объём тетраэдра V можно представить как сумма объёмов четырёх тетраэдров с основанием каждой грани и высотой r:
V = $1/3$ r $S_A+S_B+S_C+S_D$.
Кроме того, объёмы частей дают пропорции, обеспечивающие, что барицентрические коэффициенты точки, равноудалённой от граней, пропорциональны площадям противоположных граней. $Этостандартныйаргументчерезсуммыобъёмовипонятиебарицентрическихкоординат.$

Следствие: I = G тогда и только тогда, когда S_A = S_B = S_C = S_D $всечетыреплощадигранейравны$. Действительно, G в барицентрических координатах имеет веса $1,1,1,1$, а I — $S_A,...$; равенство точек означает пропорциональность векторов весов.

3) Формула для O $циркумцентра$.
Циркумцентр O определяется уравнениями |O−a|^2 = |O−b|^2 = |O−c|^2 = |O−d|^2. Вычитая пары уравнений получают систему линейных уравнений для координат O:
2$a-b$·O = |a|^2 − |b|^2, и т. п.
Эта система имеет единственное решение $еслитетраэдрневырожден$. В барицентрических координатах O имеет коэффициенты, выражаемые через квадраты длин рёбер; явная простая симметричная формула громоздка, поэтому практичнее пользоваться определением равности расстояний.

Следствие $простоеиполезное$: O = G тогда и только тогда, когда расстояния от G до всех четырёх вершин равны, т. е. |G−a| = |G−b| = |G−c| = |G−d|. Это просто: O = G ⇔ G удовлетворяет определяющим уравнениям O. Эквивалентно: вершины лежат на сфере с центром в их середине $центроидявляетсяцентромописаннойсферы$.

Замечание: это возможно и для нерегулярных тетраэдров. Условие «все четыре вершины равноудалены от G» — это вполне реалистичное условие и не требует равенства всех рёбер; так что O = G не эквивалентно регулярности.

4) Совпадение всех трёх центров.
Если G = I = O, то тетраэдр регулярный. Обоснование: из O = G следует, что вершины равноудалены от общего центра ⇒ все четыре вершины лежат на сфере с центром G. Из I = G следует, что расстояния от G до граней одинаковы ⇒ все четыре грани лежат на одинаковом расстоянии от G. Эти два свойства вместе приводят к равенству всех рёбер $можноподробней:изравенстварасстоянийотцентрадовершинидоплоскостейследуетравенстворадиусовописаннойивписаннойсферипосимметриинормалейгранейвытекает,чтовсеуглыпривершинахравны,азначитирёбраравны$. В итоге — регулярный тетраэдр $единственныйслучай,когдавсетрицентрасовпадают$.

5) Коллинеарность и копланарность.

Любые две точки лежат на прямой; любые три точки всегда определяют плоскость. Поэтому смысла спрашивать о «какие из них лежат на одной плоскости» немного меньше, чем про коллинеарность $длятрёхточекэтотривиально$. Интересно — когда три центра лежат на одной прямой?

В общем положении $для«случайного»тетраэдра$ точки G, I, O не коллинеарны. Нет общей формулы «всегда коллинеарны», как это было в треугольнике $втреугольникецентроид,ортоцентр,циркумцентрлежатнаоднойпрямой—осьЭйлера$. Для тетраэдра такая строгая общая линия отсутствует: существуют тетраэдры, где G, I, O лежат не на одной прямой $обычно$, и существуют специальные симметричные тетраэдры, где они оказываются коллинеарны или даже совпадают.

Примеры частных случаев коллинеарности:
a) Регулярный тетраэдр: G = I = O $всетрисовпадают$.
b) Тетраэдры с некоторой высокой симметрией. Например, если тетраэдр обладает осью симметрии $например,естьротацияна180°вокругнекоторойпрямой,переводящаявершиныпопарнодругвдруга$, то линия этой симметрии содержит все центры симметрии фигуры: центроид, центр описанной сферы, центр вписанной сферы $еслисимметриясохраняетграниивершинытоцентрсимметриибудетодновременноицентроммассицентромописаннойсферыит.п.$. В частности, в «изосцелесовом тетраэдре» $подэтимобычнопонимаюттетраэдр,вкоторомпопарноравныпротивоположныерёбра:AB=CD,AC=BD,AD=BC$ существует центр симметрии, и все перечисленные центры лежат на общей оси симметрии. Отсюда в этом случае G, I, O коллинеарны $обычноонинесовпадают,нонаходятсянаоднойсимметрическойпрямой$.

Короткий аргумент для изосцелесового тетраэдра: наличие равенства противоположных рёбер даёт неизменность фигуры при повороте на 180° вокруг прямой, проходящей через середины двух противоположных рёбер; под действием этой изометрии центра $G,I,O$ остаются неподвижными, поэтому они лежат на оси вращения и потому коллинеарны.

В общем случае условие коллинеарности можно выразить в терминах барицентрических координат: G соответствует $1,1,1,1$, I — $S_A,...$, O — некоторому вектору $p_A,...$ $зависимомуотквадратовдлинрёбер$. Точки G, I, O коллинеарны ⇔ векторы $1,1,1,1$, $S_A,...$, $p_A,...$ линейно зависимы в R^4. Это даёт систему алгебраических условий на длины рёбер; в общем положении эти условия не выполняются, поэтому коллинеарность — особый $симметричный$ случай.

6) Итог / краткая сводка $чтовозможноипочему$

«Точка пересечения медиан» = «центр масс вершин $равныхмасс$» — всегда $G$.Инцентр I всегда существует $улюбоготетраэдраестьвписаннаясфера$ и его барицентрические координаты пропорциональны площадям противоположных граней.Циркумцентр O всегда существует и определяется равенством расстояний до вершин.G = I ⇔ все четыре площади граней равны.G = O ⇔ расстояния от G до четырёх вершин равны $т.е.G—центрописаннойсферы$.I = O и любые другие частные совпадения происходят только при сильной симметрии; в частности все три центра совпадают тогда и только тогда, когда тетраэдр регулярный.Коллинеарность G, I, O — не универсальное свойство; она происходит при особых симметриях $регулярныйслучай—полноесовпадение;изосцелесовыйтетраэдрииныесимметричныеслучаи—всетрилежатнаосисимметрии$.

Если хотите, могу:

привести детализованные алгебраические доказательства формул для O в координатах и для I через площади $сявнымивыкладками$;привести конкретные примеры тетраэдров, иллюстрирующие все перечисленные случаи $случайныйтетраэдрснепересекающимисяцентрами,изосцелесовыйпример,нерегулярныйпримерсO=Gит.п.$;или рассмотреть более тонкие центры тетраэдра $например,Монжевуточку,центрдевяти-точечногошараит.п.$ и их взаимные расположения.

Что из этого предпочитаете дополнительно разобрать?