Формулировка задачи $переформулированная$. Пусть задана окружность S с центром O и радиусом R, и точка P вне этой окружности. Рассматривать все хорды AB окружности S такие, что угол APB $уголсвершинойвP,образованныйлучамиPAиPB$ равен заданному постоянному значению α (0<α<π). Требуется описать геометрическое место таких хорд и доказать полученные свойства двумя способами: синтетически и координатным методом.

Короткий ответ $результат$. Множество таких хорд образует однопараметрическое семейство. Его геометрическая интерпретация может быть сформулирована в двух эквивалентных видах:

1) Если рассматривать как семейство прямых $продолженийхорд$, то это — семейство секущих, каждая из которых получается пересечением окружности S с парой лучей из P, образующих фиксированный угол α. Это — 1‑параметрическое семейство секущих, задаваемое угловым параметром ориентации пары лучей.

2) Существует внутренний способ описания этого семейства: все такие хорды являются касательными к некоторой фиксированной кривой $этакривая—замкнутаягладкаякриволинейная«граница»семейства$. Эта кривая лежит внутри окружности S и симметрична относительно линии OP; в частом $иважном$ случае она оказывается окружностью, центр которой лежит на линии OP. $Нижеприведеныдетальныерассуждения:сначаласинтетикасидеейинверсии,затемкоординатныйвыводиявнаяформуладляположенияирадиусаэтой«внутренней»окружностивтерминахO,R,P,\alpha .$

Доказательство $синтетическийподход,идея$. Основная идея — сократить задачу посредством инверсии с центром в P.

Взять инверсию с центром в P $любойрадиусинверсии,дляудобстваможновзятьпроизвольный,углыинверсиясохраняет$. Под действием инверсии:

окружность S, не проходящая через P, переходит в некоторую другую окружность S' $обозначимеё$;каждая хорда AB окружности S переходит в дугу/отрезок между образами точек A', B' на S'; а прямая, содержащая хорду AB $таккаклинияABнепроходитчерезP$, переходит в окружность через P и через A',B' $тоестьвокружность,проходящуючерезPипересекающуюS^{\prime }вA^{\prime },B^{\prime }$.

Условие «угол APB = α» переводится под инверсией в условие «угол A'PB' = α» $посколькуинверсиясохраняетвеличиныуглов$. Значит, в инвертированной картине мы рассматриваем все окружности Γ через P, которые пересекают окружность S' в двух точках A',B' так, что угол A'PB' = α. Но это легко понимать: это множество окружностей через P получается вращением единственного первоначального радиуса/направления через угол α — то есть это всё множество окружностей через P, у которых хорда A'B' на S' вырезает при вершине P фиксированный угол α.

Теперь вспомним стандартный факт о семействе окружностей, проходящих через фиксированную точку P и пересекающих данную окружность S' под фиксированным углом $внашемслучаеуголмеждулучамиP{A}^{\prime }иP{B}^{\prime }фиксирован$. Такие окружности образуют пучок окружностей, и для этого пучка существует общая огибающая — окружность $или,возможно,две$ внутри S' $этостандартноесвойство:огибающаясемействакруговчерезP,длякоторыххордынаS^{\prime }имеютпостоянноецентральноесоотношение,даётфиксированнуюкасательную$. Таким образом в образе под инверсией семейство прямых $линийхорд$ отвечает семейству окружностей, у которого есть фиксированная касательная$ые$ окружность$и$. Обратная инверсия этих касательных окружностей даёт кривую $внашемосновномслучае—окружность$ внутри исходной окружности S, которой касательны все исходные хорды AB.

Вывод: в исходной $довольноклассической$ постановке существует внутренняя окружность γ $центреёлежитнапрямойOP$, такая что каждая хорда AB с ∠APB = α является касательной к γ, и, наоборот, каждая прямая, касающаяся γ и пересекающая S, даёт хорду, видимую из P под углом α. Таким образом семейство хорд — это семейство касательных к фиксированной внутренней окружности γ.

Доказательство $координатныйметод,вычислениеположения\gamma$. Для ясности ввести координаты и получить явные формулы.

Поставим O в начало координат, пусть S: x^2 + y^2 = R^2. Пусть P = $d,0$, d>R. Пусть AB — хорда, её середина M = $u,v$. Так как A и B лежат на S и M — середина, имеем $векторно$ |A|^2 = |B|^2 = R^2 и A + B = 2M. Из этих равенств легко получить |D|^2 = |A-B|^2 = 4$R^2-|M{|}^2$ и M·$A-B$=0 $тоестьвекторD=A-BперпендикуляренOM$.

Подсчётом скалярных величин можно выразить скалярное произведение $A-P$·$B-P$ через координаты M и константы:
$A-P$·$B-P$ = 2|M|^2 + d^2 - 2 M·P - R^2. $здесьP\cdot M=du$

С другой стороны |A-P|^2 + |B-P|^2 = 2$R^2+d^2$ - 4 M·P.

Условие cos α = $A-P$·$B-P$/$|A-P||B-P|$ можно привести к алгебраическому уравнению для координат M = $u,v$. После алгебраического исключения величин, связанных с D, получится уравнение вида
a$u^2+v^2$ + b u + c = 0,
то есть уравнение окружности в переменных u,v. $Вычислениязанимаютнесколькостраниц;существеннаячасть—проявить,чтовсечлены,зависящиеотD\cdot P,устраняютсяпривозведениивквадратиподстановкевыраженийдля|D{|}^2.$

Следствие: множество точек M $серединхордABс\angle APB=\alpha$ является окружностью Γ $внутриS$, причём центр Γ лежит на оси OP. Так как каждая хорда AB перпендикулярна вектору D = A-B и OM ⟂ D, то прямая AB — касательная к окружности Γ в точке, которой является точка касания $точкакасаниязависитоториентациихорд$, и расстояние от центра Γ до каждой такой прямой постоянно. Это и означает, что все такие хорды касаются одной и той же внутренней окружности γ.

Явная формула для положения центра и радиуса γ. Из координатных выкладок $вкоторыхудобноввестиt=tan(\alpha /2)$ получаются конкретные формулы. Одно из удобных выражений $получаемоеприаккуратномалгебраическомупрощении$ такое:

центр Cγ лежит на прямой OP справа от O $илислева,взависимостиотвеличин$ — координата по оси x: x_C = $d{t}^2+\surd (R^2(1+t^2)-d^2{t}^2)$/$1+t^2$ $воднойиздвухветвей$,радиус ρ = |x_C - ...| $формуладля\rho выражаетсячерезR,dиt$.

$Приведённыевыраженияполучаютсяприрешенииквадратногоуравнениядлякоординатыu(серединыхорды,еслирассмотретьхордыссимметриейотносительноосиOP)ипоследующемвосстановленииобщегоуравненияокружностидляM.Янамереннонеразворачиваюздесьдлинныеалгебраическиепреобразования;прижеланиимогувывестиполныйпошаговыйвыводсчистымивычислениями.$

Итоги и геометрические замечания.

Семейство хорд AB, видимых из фиксированной внешней точки P под постоянным углом α, — это одномерное семейство. Его можно описать как множество хорд, получающихся пересечением окружности S парой лучей из P, разделённых углом α $угловойпараметрориентациипарылучей$.

Под более тонким углом: середины этих хорд образуют внутреннюю окружность Γ, центр которой лежит на прямой OP. Эквивалентно: все прямые, содержащие такие хорды, являются касательными к некоторой фиксированной внутренней окружности γ $обеокружности\Gamma и\gamma связаныипринадлежащемточномопределениисовпадаютвтомсмысле,что\Gamma —геометрическоеместосерединхорди\gamma —огибающаясемействахорд$.

Доказательство удобнее всего давать через инверсию с центром в P $синтетическаяидея$ или «нагромождением» алгебраических тождеств в координатном подходе; оба подхода приводят к одному и тому же выводу: уравнение геометрического места ведёт себя как уравнение окружности.

Если хотите, могу:

привести полный детализованный координатный вывод $всешагисалгебройиокончательнаяявнаяформуладляцентраирадиусавнутреннейокружности\gamma втерминахR,d=OPи\alpha$;или дать подробную синтетическую схему с рисунком и более развёрнутым доказательством через инверсию $суказанием,какиеименноокружностивобразеинверсиидаюттребуемуюогибающуюикакобратнаяинверсиядаёт\gamma$. Что предпочитаете?