Надо уточнить: под «медианой, биссектрисой и высотой» подразумеваются три отрезка, исходящие из одного и того же угла $обычновершиныA$? Я в ответе буду считать так: заданы числа m = m_a $медианаизA$, l = l_a $биссектрисаизA$ и h = h_a $высотаизA$. Если имелось в виду другое — скажите.

Решение $конструктивно+критериисуществования$.

Обозначим треугольник ABC, сторона a = BC, её середина M, пусть BC положена на оси Ox, M в начале координат. Обозначим d = a/2 $точкиBиCв-dи+dнаоси$, координаты A = $x,h$ $высотаAHперпендикулярнаBC,поэтомуy‑координатаAравнаh$. По определению медианы AM = m, значит
m^2 = x^2 + h^2, откуда
x = ± sqrt$m^2-h^2$. $необходимоеусловие:m\ge h$.

Биссектриса из A пересекает BC в точке L = $s,0$. По заданной длине l имеем
l^2 = $x-s$^2 + h^2,
откуда
|s − x| = sqrt$l^2-h^2$. $необходимоеусловие:l\ge h$.
Обозначим t = sqrt$l^2-h^2$, тогда s = x ± t.

Остаётся найти d $тоестьB=(-d,0),C=(d,0)$. Условие биссектрисы BL:LC = AB:AC даёт $последовательныеалгебраическиепреобразования,см.выводниже$ уравнение относительно d^2 = u^2 $обозначимu=d$:
u^2 = s $xs-m^2$ / $s-x$. $★$

Это выразимо через известные m,h,l $потомучтоxиsвыражаютсячерезних$. Все операции в формуле $сложение,вычитание,умножение,деление,извлечениеквадратногокорня$ — классически конструктивны циркулем и линейкой. Поэтому при выполнении условий, которые я перечислю ниже, можно построить u = sqrt$u^2$ и затем поставить B = $-u,0$, C = $u,0$ и A = $x,h$. Получим искомый треугольник.

Вывод формулы $кратко$. Пусть b = AC, c = AB. Тогда
b^2 = $x-u$^2 + h^2, c^2 = $x+u$^2 + h^2.
Условие BL:LC = c:b ⇔ $s+u$/$u-s$ = c/b. Возводя в квадрат и подставляя b^2,c^2 и упрощая, получаем после сокращений линейное уравнение по u^2, дающее $★$.

Критические и частные случаи $необходимыеидостаточныезамечания$

1) Необходимые условия:

m ≥ h и l ≥ h. Иначе решения нет $нельзяизвлечьквадратныекорниxилиt$.

2) Случай m = h.

Тогда x = 0, т.е. A лежит строго над серединой M и медиана, высота и биссектриса совпадают по направлению. Для любого d $любаядлинаоснованияa=2d$ медиана и высота имеют длину h, и биссектриса длина тоже равна h. Значит при m = h существование возможно только если l = h; в этом случае решений бесконечно много $параметрdсвободен$ — данные не определяют треугольник однозначно.Если m = h и l ≠ h — решений нет.

3) Случай l = h.

Если l = h, то t = 0 ⇒ s = x. Подставляя в $★$, делитель s − x = 0; для совместимости правая часть должна быть нулём. Это даёт совместность только в случае x = 0 $т.е.m=h$ — тот самый многозначный изосцелеский случай. В общем случае l = h и m ≠ h — решений нет.

4) Общий случай m > h и l > h.

Берём x = ±sqrt$m^2-h^2$ $двазеркальныхрасположенияAотносительноосисимметрии$, t = sqrt$l^2-h^2$, s = x ± t $двевозможностидляположенияLотносительнопроекцииA$. Для каждой пары знаков вычисляем u^2 по формуле $★$. Решение существует тогда и только тогда, когда полученное u^2 > 0 и при этом |s| < u $чтобыточкаLлежаламеждуBиC$. Если эти условия выполнены, то вычисляем u = sqrt$u^2$ и строим B,C,A как выше. Обычно получается не более 4 геометрических конфигураций $выборзнаковдляxидля\pm t$, многие из них дают конгруэнтные треугольники или зеркальные отражения.

Практическая пошаговая конструкция $чтонужнопостроитьциркулемилинейкой$

Проверить m ≥ h и l ≥ h. Если нет — стоп.Построить точку M и ось BC $произвольно$. На оси в одной точке обозначить M.Построить x = sqrt$m^2-h^2$: отложить от M на оси расстояние x $двумяспособами\pm$. На высоте h над осью провести параллельную прямую; точка A — пересечение этой прямой с вертикалью через смещённую точку проекции $точно:ставимAтак,чтобыпроекциянаосьимелакоординатуxивысотаh$.
$Геометрически:можнопостроитьпрямоугольныйтреуг.состоронамиhиx,отложивxпоосииподняввысотуh.$Построить t = sqrt$l^2-h^2$. На оси отметить точки L = $x\pm t,0$.Для каждой пары $выборx‑знакаи\pm t$ вычислить u^2 по формуле $★$. Все арифметические операции $умножение/деление/квадратныйкорень$ выполняются геометрически $стандартныепостройки:пропорции,пересеченияокружностей/прямыхдаютсумму,разность,произведение/частноеиизвлечениеsqrt$.Если u^2 > 0 и u > |s| — строим u и ставим B$-u,0$, C$+u,0$. Тогда A,B,C — искомый треугольник. Проверяем: AM = m, AL = l, AH = h.

Итого: в общем случае (m > h, l > h) треугольник строится единственным $впределахвыбраннойориентации$ способом по приведённой формуле; в специальных ситуациях m = h и l = h — бесконечно много решений $изосцелескийслучай$; в остальных случаях решений нет. Вся конструкция основана на квадратных уравнениях/корнях, поэтому выполняется циркулем и линейкой.

Если хотите — могу:

привести подробный вывод формулы $★$ пошагово;дать конкретную числовую иллюстрацию $возьмитеконкретныеm,l,h$ и продемонстрировать конкретную постройку и проверку;или дать схему построения геометрическими операциями $какиеименноокружности/прямыепроводитьдлякаждойарифм.операции$.