Формулировка $кратко$. Для фиксированного непустого дугового отрезка AB и любой точки C на соответствующей дуге окружности угол ACB $вписанныйугол$ равен половине центрального угла AOB, то есть измерение вписанного угла = 1/2 измерения дуги AB $или1/2центральногоугла,опирающегосянатужедугу$.

Ниже — сравнение трёх подходов $синтетическогочерезподобие,аналитическогочерезуравненияокружности,методавекторнойалгебры$: ключевые идеи, скелет доказательства, сильные стороны и естественные обобщения.

1) Синтетическое доказательство через подобие

Ключевая идея:
Использование равенства радиусов $OA=OB=OC$, свойств изосceles-треугольников и подобия треугольников, либо разбиение на два треугольника с общим углом в центре.Схема доказательства:
Провести центр O окружности. Если C лежит на дуге, то рассмотреть треугольники OAC и OBC $обаравнобедренные$. Дальше либопоказать, что треугольники OAC и OBC дают отношения углов, приводящие к ∠AOB = 2∠ACB; либоиспользовать подобие треугольников, показав, что ∠ACB = 1/2$\angle AOB$.Альтернативно классический ход: провести хорду AB и рассмотреть два треугольника, показать подобие между ними $черезравныеуглы$, откуда вытекает соотношение углов.Сильные стороны:
Прозрачность геометрической идеи, хорош для иллюстрации и обучения.Лёгко получать следствия: теорема Томаса $уголвполукруге=90°$, равные вписанные углы опирающиеся на одну дугу, теоремы о вписанных многоугольниках $напр.,суммапротивоположныхугловвописанногочетырехугольника=180°$.Работает в евклидовой плоскости без алгебры.Ограничения:
Менее удобен для обобщений в аналитической геометрии, для вычислений, или для перехода на другие модели $комплекснаяплоскость,проективная/конформнаягеометрия$.Обобщения, естественные отсюда:
Теоремы о вписанных квадратах/четверках, угол между касательной и хордой $равенполовинедуги$, теорема Талеса и её обратная, свойства концентрических окружностей и гомотетии.

2) Аналитическое доказательство через уравнение окружности $координатныйподход$

Ключевая идея:
Подставить координаты точек на окружности, использовать уравнение окружности x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, параметризацию $x=a+Rcost,y=b+Rsint$ или уязвимость по комплексным числам; выразить углы через скалярное произведение направляющих векторов или через тангенсы/арктангенсы разностей параметров.Схема доказательства:
Параметризовать точки A,B,C углами аргументов t_A, t_B, t_C на окружности радиуса R с центром O.Тогда вектор OA = R$cos{t}_A,sin{t}_A$ и т.д. Угол между OA и OB равен |t_A - t_B|, а вписанный угол между хордовыми направлениями вычисляется как |$t_A-t_C$ - $t_C-t_B$|/2 = |t_A - t_B|/2 $формальночерезформулыдляразностиаргументовиотношениявекторов$.Аналогично можно работать с уравнениями и угловыми функциями.Сильные стороны:
Чёткое вычисляемое доказательство, легко превращающееся в программируемый алгоритм.Гибкость: аккуратно работает при переходе к комплексной форме $точкикакчисланаокружностиunitcircle:z=e^{it}$, что делает формулировку короткой: arg$(z_A-z_C)/(z_B-z_C)$ = $arg{z}_A-arg{z}_B$/2 и т. п.Позволяет обобщать на аналитические преобразования: инверсия, дробно-линейные отображения $Мёбиусовы$ легко отслеживают соотношения углов.Ограничения:
Меньше геометрической интуиции; алгебраическая громоздкость для чисто геометрических рассуждений.Требует выбора координат/параметризации.Обобщения:
Переход к комплексной плоскости: простая формулировка в терминах аргументов и комплексных дробей; связка с конформными отображениями.Аналитические доказательства задач на углы при преобразованиях круга: инверсия, отображения Лоренца, проективные/конформные преобразования.Можно обобщать на уровни, где используются понятия аргумента и модуль — удобно для численных проверок.

3) Метод векторной алгебры $скалярные/векторныепроизведения$

Ключевая идея:
Представить точки как векторы относительно центра O или некоторой опорной точки, выразить косинусы/синусы углов через скалярное и векторное $в2D—псевдоскалярное$ произведение и использовать равенство длин радиусов.Схема доказательства:
Пусть OA = OB = OC = R. Тогда cos ∠AOB = $OA\cdot OB$/R^2, cos ∠ACB можно выразить через вектора CA = A − C и CB = B − C:
cos ∠ACB = $(A-C)\cdot (B-C)$/|A−C||B−C|.Подставляя A = O + OA и т.д., используя OA·OC = R^2 cos$t_A-t_C$ и т. п., можно свести выражения к функциям разностей аргументов, и показать, что угол между хордовыми векторами равен половине центрального.Альтернативно используется формула для угла между двумя направлениями через ортовектора и соотношение хорд: |AB|^2 = 2R^2$1-cos(t_A-t_B)$, откуда через тригонометрические тождества извлекается нужное соотношение.Сильные стороны:
Очень удобен для общих алгебраических манипуляций, хорошо сочетается с линейной алгеброй и аналитическими вычислениями.Подходит для многомерных обобщений (например, когда рассматривать "вписанный" угол на сфере — великая окружность), потому что векторный язык нейтрален к базису и прозрачнее отражает симметрию под вращениями.Позволяет работать с ориентацией $черезпсевдовекторноепроизведение$ и с синусами $черезмодульвекторногопроизведения$.Ограничения:
Требует знания и аккуратного обращения с алгеброй векторов; иногда вычисления выглядят громоздко.Меньше "чистой" геометрической прозрачности, чем синтетическое доказательство.Обобщения:
Переход к n-мерной евклидовой геометрии и анализ углов между подпространствами, работа с геометрией на сферах $великиеокружности$.Связь с квадратичными формами, методами оптимизации и физическими интерпретациями $вращения,инерция$.Хорошая подготовка к комплексному и матричному подходу $ортогональныематрицы,повороты$.

Сравнительная сводка — какие идеи ключевые и что даёт каждый подход

Синтетический $подобие$:
Ключ: равенство радиусов → изосceles-треугольники → подобие → простое соотношение углов.Дает чёткую геометрическую интуицию и прямые следствия о вписанных/описанных фигурах.Аналитический $уравнение/параметризация$:
Ключ: параметризация окружности $угловойпараметр$ и алгебраическое выражение углов через аргументы/тригонометрию.Дает мощный аппарат для общих преобразований $инверсия,Мёбиусовыотображения$, лёгкость для численных вычислений и комплексной интерпретации.Векторный:
Ключ: скаляр/векторное произведение, инвариантность под вращениями, выражение углов через произведения векторов.Дает абстрактную, базис-независимую формулировку, удобную для многомерных и алгебраических обобщений.

Когда какой подход предпочтителен

Для учебной, интуитивной демонстрации — синтетика.Для вычислений, программирования и работы с преобразованиями — аналитика/комплексные числа.Для перехода к общим алгебраическим структурам, многомерным задачам или физическим приложениям — векторы/линейная алгебра.

Дополнительные заметки об обобщениях

Мёбиусовы/инверсия: аналитический/комплексный подход делает очевидным, как вписанный угол ведёт себя при конформных отображениях; многие свойства окружности сохраняются.Сфера/геометрия Лобачевского: прямой перенос теоремы нет, но векторный/матричный подход легче адаптируется к построению аналогичных утверждений для больших окружностей $великихкруговнасфере$ или геодезий в других моделях.Проективная точка зрения: вписанный угол — частный случай отношений углов, которые ведут себя под проективными преобразованиями $нопроекциянесохраняетугол,поэтомунужныограничения;аналитическийподходпомогаетизучитьинварианты$.

Короткий вывод

Все три метода доказывают одно и то же, но выделяют разные структуры: синтетика — локальную геометрическую симметрию и подобие, аналитика — аргумент/параметры и возможность преобразований, векторы — линейную/ортогональную инвариантность. В зависимости от задачи $пояснить,вычислить,обобщить$ удобнее выбирать соответствующий язык; вместе они дают богатую картину свойств окружности и углов, а также пути к мощным обобщениям $комплексный/конформныйаппарат,инверсия,многомернаягеометрия$.