Обозначения. Пусть на плоскости заданы две непересекающиеся окружности S1$O1,r1$ и S2$O2,r2$ с различными радиусами r1 ≠ r2 и O1 ≠ O2. Пусть d = O1O2.

1) Конструирование общих касательных и их свойство $гомотетии$.

Определение: прямая называется «прямой $внешней$ касательной» $direct/commonexternaltangent$, если она касается обеих окружностей и не пересекает отрезок O1O2; «поперечной $внутренней$ касательной» $transverse/commoninternaltangent$, если касается обеих окружностей и пересекает отрезок O1O2.

Ключевая идея — гомотетия двух окружностей. Рассмотрим точку H на прямой O1O2, которая делит этот отрезок в отношении r1 : r2. Есть два таких деления:

внутреннее деление $точкаH_{i}ntлежитмеждуO1иO2$ с O1H_int : H_intO2 = r1 : r2;внешнее деление $точкаH_{e}xtлежитнапродолженииO1O2заоднимизцентров$ с O1H_ext : H_extO2 = r1 : r2 $внешнееделение$.

Утверждение $свойство$: пересечение двух общих касательных $еслионипересекаются$ лежит на прямой O1O2 и делит O1O2 в отношении r1:r2. Конкретно:

две прямые внешних касательных пересекаются в внешнем центре гомотетии H_ext;две поперечные $внутренние$ касательные пересекаются в внутреннем центре гомотетии H_int.

Конструкция:
а) Найдите точки H_int и H_ext на прямой O1O2, делящие O1O2 в отношении r1:r2 $построениеделенияотрезкавзаданномотношениистандартновыполнитьциркулемилинейкой$.
б) Для получения всех общих касательных достаточно из H_int $длявнутреннихкасательных$ и из H_ext $длявнешнихкасательных$ провести касательные к одной из окружностей $например,кS1$. Каждая из этих касательных будет одновременно касательной и ко второй окружности. Из каждой из точек H проводится не более двух касательных — дающие по две прямые $всуммедочетырёхразличныхкасательных$.

Замечание о количестве касательных $классификацияпорасстояниюd$:

Если d > r1 + r2 $обособленныеснаружи$ — существует 4 общие касательные $2внешниеи2внутренние$.Если d = r1 + r2 $касаниеснаружи$ — 3 разных общих касательных $однаизвнутреннихвырождаетсявкасательнуювточкесоприкосновения$.Если |r1 − r2| < d < r1 + r2 $пересекающиесяокружности$ — 2 общие касательные $тольковнешние$.Если d = |r1 − r2| $касаниевнутреннее$ — 1 общая касательная.Если d < |r1 − r2| $однаокружностьвнутридругой$ — общих касательных нет.

Доказательство свойства $коротко$. Пусть l — общая касательная, она касается S1 в T1 и S2 в T2. Пусть H = l1 ∩ l2 — пересечение двух различных общих касательных $еслиберёмоднукасательную,еёпересечениессамойсобойнеинтересно$. Тогда прямые O1T1 и O2T2 перпендикулярны l, и углы ∠O1T1H и ∠O2T2H — прямые, у треугольников HO1T1 и HO2T2 общий угол при H, значит эти прямоугольные треугольники подобны. Следовательно O1T1 : O2T2 = O1H : O2H, то есть r1 : r2 = O1H : O2H. Получаем, что H делит O1O2 в отношении r1:r2, то есть H — центр гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Обратная импликация тоже верна: если H делит O1O2 в этом отношении, то две касательные, проведённые из H к S1, будут переводиться гомотетией в касательные к S2, т.е. будут общими.

2) Геометрическое место точек, из которых касательные к окружностям имеют одинаковую длину.

Для произвольной точки P длина касательной от P к окружности S$O,r$ равна sqrt$P{O}^2-r^2$. Поэтому равенство длин касательных к S1 и S2 равносильно
PO1^2 − r1^2 = PO2^2 − r2^2.
Перенесём члены:
PO1^2 − PO2^2 = r1^2 − r2^2.

Поскольку разность квадратов расстояний до двух фиксированных точек является линейной функцией координат, множество точек, для которых PO1^2 − PO2^2 = const, — прямая. В частности, множество точек P, удовлетворяющих равенству длин касательных, — это прямая, называемая радикальной осью двух окружностей $линейноеуравнениевыше$. Эта прямая перпендикулярна O1O2; точка пересечения радикальной оси с O1O2 $точкаX$ находится на расстоянии от O1
OX = $d^2+r{1}^2-r{2}^2$ / $2d$ $полученоизразвёрнутогоуравнениявкоординатахвдольO1O2$.

Особые случаи:

Если O1 = O2 $концентрическиеокружностисразнымирадиусами$, уравнение PO1^2 − r1^2 = PO2^2 − r2^2 даёт r1^2 = r2^2, что невозможно при r1 ≠ r2, значит геометрическое место пусто — нет точек, из которых касательные к двум концентрическим окружностям имеют равную длину.Если окружности касаются $внешнеиливнутренне$, радикальная ось проходит через точку касания $вырожденныеслучаисоответствуютописаннымвыше$.

Кратко о связи: центры гомотетии $находящиесянаO1O2$ определяют общие касательные, а радикальная ось $перпендикулярнаяO1O2$ — множество точек, откуда длины касательных к окружностям равны.