Возьмём правый круговой цилиндр радиуса R с осью вдоль оси z:
x^2 + y^2 = R^2.
Плоскость пусть наклонена относительно горизонтальной плоскости на угол θ и имеет уравнение
z = x tan θ + h, $1$ $этоплоскость,проходящаяподуглом\theta внаправленииосиx;приh=0проходитчерезначалокоординат$. Угол θ = 0 → горизонтальная плоскость $сечение—круг$, θ → π/2 → плоскость → вертикальная $сечениевырождается$.

Пересечение цилиндра и плоскости задаётся системой
x^2 + y^2 = R^2,
z = x tan θ + h.

Построим удобную координатную систему в самой плоскости. Векторы
u = $cos\theta ,0,sin\theta$ и v = $0,1,0$ образуют ортонормированный базис плоскости z = x tan θ $проверка:u\cdot u=v\cdot v=1,u\cdot v=0$. Любую точку плоскости можно записать как X u + Y v плюс сдвиг центра $0,0,h$. Из равенств компонент получаем
x = X cos θ, y = Y, z = X sin θ + h.

Подставим это в уравнение цилиндра:
$x$^2 + $y$^2 = $Xcos\theta$^2 + Y^2 = R^2.

Отсюда уравнение сечения в координатах $X,Y$ плоскости:
cos^2 θ · X^2 + Y^2 = R^2,
или
X^2 / $R^2/co{s}^2\theta$ + Y^2 / R^2 = 1. $2$

Следовательно:

полуоси эллипса: a = R / cos θ $вдольнаправленияu,тоестьвдольпересеченияплоскостисxz-плоскостью$, b = R $вдольнаправленияv,т.е.вдольосиy$;центр эллипса — проекция оси цилиндра на плоскость, точка $x,y,z$ = $0,0,h$ $вкоординатахплоскостицентр=(X,Y)=(0,0)$;параметризация в пространстве:
x$t$ = R cos t,
y$t$ = R sin t,
z$t$ = R cos t · tan θ + h,
или в координатах плоскости: X$t$ = $R/cos\theta$ cos t, Y$t$ = R sin t.

Если удобнее описать наклон плоскости через угол φ между плоскостью и осью цилиндра $осьz$: тогда φ = π/2 − θ и cos θ = sin φ, и
a = R / cos θ = R / sin φ, b = R.

Общий случай $наклонвпроизвольномазимуте\psi$: плоскость, наклонённая в направлении, образующем угол ψ с осью x в плоскости xy, можно взять в виде
z = tan θ $xcos\psi +ysin\psi$ + h.
В этом случае один из направляющих векторов плоскости равен u = $cos\psi cos\theta ,sin\psi cos\theta ,sin\theta$, второй — v = $-sin\psi ,cos\psi ,0$, и в координатах $X,Y$ вдоль этих векторов уравнение сечения снова примет вид
cos^2 θ · X^2 + Y^2 = R^2,
то есть полуоси те же: a = R / cos θ вдоль направления проекции наклона, b = R перпендикулярно ей.

Итого: при наклоне плоскости на угол θ $отгоризонтали$ сечение цилиндра — эллипс с полуосями a = R / cos θ и b = R, ориентированный так, что большая полуось направлена вдоль проекции направления наклона плоскости на поверхность цилиндра.