Пусть дан угол с вершиной в A и величиной α (0<α<π). Требуется среди всех треугольников ABC, у которых вершина A совпадает с вершиной угла, точки B и C лежат на лучах угла, а высота из A на сторону BC равна фиксированному h>0, найти $илипоказатьповедение$ такой треугольник, у которого вписанный радиус r максимально возможен.

Обозначения. Пусть

AB = b, AC = c (>0),угол BAC = α, sin α = k $длякраткости$,a = BC — длина основания,S — площадь треугольника,r — радиус вписанной окружности.

1) Выражение для r через b,c,h,α.
S = $1/2$ b c sin α = $1/2$ b c k.
Так как высота из A на BC равна h, то S = $1/2$ a h, откуда
a = $bck$/h.
Вписанный радиус r = 2S/$a+b+c$ = $bck$/$(bck)/h+b+c$.
Удобно записать
r = $hkbc$/$kbc+h(b+c)$. $1$

2) Сначала устраним асимметрию b и c. Зафиксируем сумму u = b + c. Для фиксированного u выражение $1$ — как функция от v = b c — имеет вид
r = $hkv$/$kv+hu$.
Для постоянного u это увеличивается при увеличении v $легкопроверитьположительностьюпроизводнойпоv,либозаметить,чтопрификсированномuчислительлинейнорастётпоv,азнаменательрастётмедленнее$. Максимальное возможное при фиксированном u значение v при b,c>0 достигается при b = c = u/2 $понеравенствумеждусреднимарифметическимигеометрическим:v\le (u/2{)}^2$. Следовательно, среди треугольников с данной суммой длин боковых сторон максимум r достигается при b = c — оптимальна симметрия, т.е. искомый треугольник должен быть равнобедренным.

3) Перейдём к равнобедренному случаю b = c = t > 0. Тогда из $1$ r$t$ = $hk{t}^2$/$k{t}^2+2ht$ = $hkt$/$kt+2h$.
Рассмотрим поведение этой функции по t:
dr/dt = 2 h^2 k/$kt+2h$^2 > 0 для всех t>0,
поэтому r$t$ монотонно возрастает при увеличении t и стремится при t→+∞ к пределу
lim_{t→∞} r$t$ = h.
Значит: среди равнобедренных треугольников r растёт при увеличении длин боковых сторон и верхнею гранью для r является h, но для конечного t r<h; равенство r=h недостижимо для конечного треугольника.

4) Вывод по оптимальности и предельным случаям.

Оптимальная симметрия: для любых заданных b+c фиксировать v = bc можно увеличить r, делая b и c ближе друг к другу; поэтому оптимальная конфигурация — равнобедренная $AB=AC$.Однако абсолютного максимума среди всех $конечных$ треугольников с данной высотой h не существует: r не ограничен сверху числом меньшим h, но r < h для любого конечного треугольника; супремум равен h и достигается в пределе при b = c → +∞ $т.е.вершиныBиCуходятвсёдальшеполучамугла$. Таким образом наибольший возможный радиус — предел h, и этот предел получают приближённо равнобедренные «широко растянутые» треугольники.Другой предельный случай: если один из отрезков b или c → 0 $однавершинастремитсякA$, то r → 0. То есть r принимает все значения от 0 до $невключая$ h по мере изменения размеров треугольника.

Краткая геометрическая интерпретация. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла при A; при увеличении боковых сторон BC удаляется от A, вписанная окружность «растёт», приближаясь по радиусу к величине высоты h, но не может её превысить $потомучторасстояниеотцентраокружностидоBCравноr,адоточкиA—неменьшеr\cdot cosec(\alpha /2),иневозможно,чтобыцентр«пересёк»вершинуA$. Таким образом максимизация достигается при симметричном размещении вершин на лучах угла, а точное наибольшее значение r не достигается, а только приближается к h при раздвигании B и C.

Итого: среди всех треугольников, вписанных в угол α с фиксированной высотой из A, оптимальная форма — равнобедренная $AB=AC$; глобального максимума r не существует, супремум r = h, он достигается в пределе при b = c → ∞; при вырождении одного из боковых отрезков r→0.