Коротко: если под «длинами дуг сторон» понимают длины геодезических дуг (то есть по кратчайшим большим кругам, каждое ≤ $\pi R$), то треугольник на сфере однозначно (с точностью до изометрии) определяется этими длинами и его площадь фиксирована; минимизация среди таких треугольников не имеет смысла (все одинаковы). Если же разрешить между каждой парой вершин выбирать либо краткую, либо «длинную» дугу (вторую дугу большого круга длиной $2\pi R-a$), то минимальная площадь достигается тогда, когда для всех трёх пар берутся кратчайшие дуги, то есть треугольник лежит в некоторой открытой полусфере.
Короткое обоснование и формулы:
- Обозначим длины дуг сторон через $a,b,c$ и соответствующие центральные углы через $\tilde{a}=a/R,\tilde{b}=b/R,\tilde{c}=c/R$ (радианы). Углы треугольника при вершинах обозначим $\alpha ,\beta ,\gamma$. Сферическая теорема косинусов даёт связь сторон и углов, например
$$\cos \frac{a}{R}=\cos \frac{b}{R}\cos \frac{c}{R}+\sin \frac{b}{R}\sin \frac{c}{R}\cos \alpha .$$ Для $\frac{a}{R},\frac{b}{R},\frac{c}{R}\in (0,\pi )$ это уравнение однозначно определяет $\alpha \in (0,\pi )$ (аналогично для $\beta ,\gamma$). Следовательно, при «кратких» сторонах треугольник определён однозначно, а значит и его площадь фиксирована.
- Площадь сферического треугольника даётся формулой Жирара (Girard):
$$S=R^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi ).$$ Поскольку углы однозначно выражаются через стороны, при фиксированных «кратких» сторонах $S$ фиксирована.
- Если одну или несколько сторон заменить на дополняющие дуги длиной $2\pi R-a$, то получается отличная от первой замкнутая тридуга; такие выборы обычно дают треугольники большей площади. Поэтому среди всех треугольников, получаемых для данной тройки вершин при выборе между двумя дугами между каждой парой, минимальна конфигурация, где все три дуги — кратчайшие (т.е. треугольник лежит в некоторой полусфере).
Особые случаи:
- Если одна из «сторон» равна $\pi R$ (вершины антиподальны), то однозначность нарушается: через две противоположные точки любого большого круга проходят бесчисленные большие круги, возможна неоднозначность треугольника.
- Кроме того, требование существования сферического треугольника с заданными (краткими) сторонами аналогично неравенствам треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других (в терминах центральных углов), и суммы сторон не превышают $2\pi R$ в соответствующих случаях.
Сравнение с евклидовой ситуацией:
- В евклидовой плоскости треугольник тоже однозначно определяется длинами сторон (до конгруэнции), и его площадь фиксирована (Heron). То есть и там, и на сфере фиксированные длины сторон (короткие на сфере) однозначно определяют треугольник и его площадь.
- Главное отличие: на сфере площадь выражается через «избыток» углов $\alpha +\beta +\gamma -\pi$ и ограничена сверху суммарной площадью сферы; возможны дополнительные конфигурации, если стороны «длинные» (больше $\pi R$) или при антиподальных вершинах, чего в евклидовой геометрии нет.