Обозначим фокусы первого эллипса $F_1,F_2$, второго — $G_1,G_2$. Для точки $X$ положим
$$d_1(X)=|X{F}_1|+|X{F}_2|,d_2(X)=|X{G}_1|+|X{G}_2|.$$ Задача — геометрическое место (ГМ) точек $X$, для которых
$$d_1(X)=d_2(X).$$
Ключевые факты и методы
- Это уровень непрерывной функции $f(X)=d_1(X)-d_2(X)$. В общем случае ГМ есть замкнутая в ${\mathbb{R}}^2$ совокупность кривых (возможны как замкнутые овалы, так и неограниченные ветви), либо вырожденные случаи (вся плоскость, пустое множество или набор линий/конусов).
- Алгебраическое описание: положим $r_1=|X{F}_1|,r_2=|X{F}_2|,s_1=|X{G}_1|,s_2=|X{G}_2|$. Условие $r_1+r_2=s_1+s_2$ после одного и второго возведения в квадрат даёт алгебраическое уравнение без корней степени не выше четырёх. Итого ГМ — (в общем) вещевая алгебраическая кривая степени $\le 4$ (квартка).
- Действие: $(r_1+r_2{)}^2=(s_1+s_2{)}^2\Rightarrow r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2=s_1^2+s_2^2+2s_1{s}_2$. Далее из этого выражения выделяют один корень и ещё раз возводят в квадрат — получаем многочлен степени 4 в координатах $x,y$.
Типичные симметрии
- Отражения, меняющие местами фокусы одной пары, сохраняют соответствующую сумму расстояний; следовательно ГМ инвариантна относительно любой из линий, которые обменяют $F_1\leftrightarrow F_2$ или $G_1\leftrightarrow G_2$. Чаще всего это перпендикулярные биссектрисы отрезков $F_1{F}_2$ и $G_1{G}_2$.
- Если центры (середины отрезков фокусов) совпадают, то ГМ симметрична относительно центра (поворот на $180^{\circ }$ вокруг этого центра).
- При дополнительных симметриях расположения фокусов (совпадающие линейки, осевая симметрия и т.д.) появляются соответствующие симметрии ГМ.
Особые и вырожденные случаи
- Если множества фокусов совпадают: $\{F_1,F_2\}=\{G_1,G_2\}$, то $d_1\equiv d_2$ и ГМ = вся плоскость.
- Уравнение может факторизоваться (квартка раскладывается на две квадрики или на пару линий и квадрики) при специальных соотношениях между фокусами; тогда ГМ — совокупность соответствующих компонент (например, две коники, линии и т. п.).
- Вырождение в пустое множество возможно: функция $f(X)$ непрерывна и стремится к $0$ на бесконечности, но это не гарантирует достижение нуля; теоретически может не существовать точек со строгим равенством (примерно как положительная функция, стремящаяся к нулю на бесконечности). На практике для типичных конфигураций реальные ветви есть.
Поведение на бесконечности
- Для больших $|X|$ главные члены $d_1,d_2$ компенсируются, и
$$d_1(X)-d_2(X)=O\left(\frac{1}{|X|}\right),$$ в частности разность стремится к $0$. Поэтому бесконечные ветви (если они есть) приближаются к направлениям, в которых линейный член в разложении аннулируется (геометрически — направления, уравновешивающие проекции сумм фокусов).
Замечания относительно точек пересечения эллипсов $P,Q$ - Если данные эллипсы пересекаются в $P,Q$, то на этих точках $d_1(P)=2a_1,d_2(P)=2a_2$ (где $2a_i$ — большая ось соответствующего эллипса). Точки $P,Q$ лежат на искомом ГМ только при $2a_1=2a_2$ (т.е. равенстве констант сумм) либо в специальных конфигурациях, когда для этих конкретных точек суммы случайно совпадают.
Резюме типичных конфигураций
- Общий случай: невырожденная неприводимая реальная квартичная кривая (одна или две компонентЫ), обладающая симметриями, указанными выше.
- Вырожденные случаи: ГМ = вся плоскость (совпадающие множества фокусов), или факторизация на две коники/линии при специальных соотношениях между фокусами, или (редко) отсутствие реальных точек.
- Практический путь исследования для конкретного случая: задать координаты фокусов, записать $r_i,s_j$, вывести алгебраическое уравнение (последовательно возведением в квадрат), проверить факторизацию/тип кривой и построить численный график для выяснения числа и типа компонент.
Если нужно, могу для конкретных координат фокусов выписать явное уравнение квартки и проанализировать её компоненты.