Построение.
Пусть даны точки $M_A,M_B,M_C$ — середины сторон неизвестного треугольника (соответственно сторон $BC,CA,AB$). Тогда вершины исходного треугольника находятся по формулам
$$A=M_B+M_C-M_A,B=M_C+M_A-M_B,C=M_A+M_B-M_C.$$ Геометрически: найдите середины отрезков $M_B{M}_C,M_C{M}_A,M_A{M}_B$. Отразите точку $M_A$ относительно середины $M_B{M}_C$ — получите $A$; аналогично отразите $M_B$ относительно середины $M_C{M}_A$ и $M_C$ относительно середины $M_A{M}_B$ — получите $B$ и $C$. Или: найдите центр $G=\frac{M_A+M_B+M_C}{3}$ и выполните гомотетию с центром $G$ и коэффициентом $-2$ (точка $M_A$ перейдёт в $A$ и т. д.).
Доказательство уникальности и обсуждение обратной задачи.
Из уравнений средних точек
$$B+C=2M_A,C+A=2M_B,A+B=2M_C$$ выписываются вышеуказанные формулы для $A,B,C$, следовательно решение единственно (векторно). То есть треугольник однозначно восстанавливается по трём данным точкам середин сторон. Единственное замечание: если $M_A,M_B,M_C$ коллинеарны (или некоторые совпадают), то найденный треугольник будет вырожденным (вершины коллинеарны или совпадают). Если требуется невырожденный треугольник, то точки $M_A,M_B,M_C$ не должны лежать на одной прямой и должны быть попарно различны.