Формулировка (с ориентированными отрезками). Пусть треугольник $ABC$ и прямая пересекает прямые $AB,BC,CA$ в точках $N,L,M$ соответственно (точки могут лежать на продолжениях сторон). Тогда выполняется теорема Менелая:
$$\frac{AN}{NB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MA}=-1.$$
Строгое (координатное) доказательство. Проведём аффинное преобразование, переводящее $A,B,C$ в точки
$$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1).$$ Точки пересечения имеют координаты
$$N=(n,0),L=(l,1-l),M=(0,m)$$ для некоторых чисел $n,l,m$. Коллинеарность $N,L,M$ эквивалентна равенству определителя
det⁡(n01l1−l10m1)=0. \det\begin{pmatrix} n&0&1\\ l&1-l&1\\ 0&m&1\end{pmatrix}=0.
det nl0 01−lm 111 =0. Вычисляя детерминант, получаем
$$n(1-l)+lm-nm=0⟺n(1-l-m)+lm=0.$$ Теперь подставим эти координаты в левую часть Менелаевой тождества:
$$\frac{AN}{NB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MA}=\frac{n}{1-n}\cdot \frac{1-l}{l}\cdot \frac{1-m}{m}.$$ Используя связь $n(1-l-m)+lm=0$, преобразуем:
$$\frac{n}{1-n}\cdot \frac{1-l}{l}\cdot \frac{1-m}{m}=\frac{-lm}{1-l-m+lm}\cdot \frac{1-l}{l}\cdot \frac{1-m}{m}=-\frac{(1-l)(1-m)}{1-l-m+lm}=-1,$$ поскольку $(1-l)(1-m)=1-l-m+lm$. Это и доказывает теорему Менелая. (Для ориентированных отрезков знак $-1$ появляется автоматически в случае, когда прямая пересекает стороны и их продолжения нечётным числом раз.)
Сравнение с теоремой Чевы. Теорема Чевы (в ориентированной форме). Пусть через вершины $A,B,C$ проведены прямые, пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках $A_1\in BC,B_1\in CA,C_1\in AB$. Эти три прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
$$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}\cdot \frac{C{B}_1}{B_{1}A}\cdot \frac{A{C}_1}{C_{1}B}=1.$$
Ключевые отличия и взаимосвязь:
- Назначение: Менелай даёт необходимое и достаточное условие коллинеарности трёх точек, расположенных на сторонах (или их продолжениях) треугольника; Чева даёт необходимое и достаточное условие конкурентности трёх прямых, выходящих из вершин треугольника.
- Формулы: Менелай — произведение ориентированных отношений равно $-1$; Чева — произведение равно $1$. Знак $-1$ у Менелая отражает, что прямая пересекает три «линиидлят» с нечётным числом переходов через продолжения сторон.
- Дополнительная информация: Чева сообщает о том, что три заданные прямые имеют общую точку (конкурируют), но сама по себе не даёт конкретных численных делений на сторонах (если только не заданы отношения). Менелай прямо даёт соотношение между делениями трёх точек, лежащих на одной прямой, поэтому удобен при вычислении неизвестного отношения на одной стороне, если известны два других.
- Взаимосвязь: эти теоремы «дуальны» в проектной/аффинной интерпретации: условие конкурентности можно переводить в условие коллинеарности в двойственной конфигурации. На практике их часто применяют вместе: например, чтобы найти отношение деления точки пересечения двухcevian на третьей стороне используют Чеву и Менелая в смежных треугольниках.
Итого: Чева отвечает на вопрос «когда три линии из вершин пересекаются в одной точке» (условие =1), Менелай — «когда три точки на сторонах лежат на одной прямой» (условие =−1); обе дают удобные мультипликативные условия для вычисления неизвестных отношений в задачах о пересечениях и часто дополняют друг друга.