Обозначения и постановка. Пусть две непересекающиеся окружности $C_1(O_1,r_1)$ и $C_2(O_2,r_2)$ заданы центрами $O_1,O_2$ и радиусами $r_1,r_2$. Для точки $X$ определим расстояние до окружности как минимальное расстояние до точек окружности:
di(X)=dist⁡(X,Ci)=∣ ∣XOi∣−ri∣,i=1,2. d_i(X)=\operatorname{dist}(X,C_i)=\bigl|\,|XO_i|-r_i\bigr|,\qquad i=1,2.
di (X)=dist(X,Ci )= ∣XOi ∣−ri ,i=1,2. Нужно изучить геометрическое место точек, для которых разность $d_1(X)-d_2(X)$ постоянна, т.е.
∣ ∣XO1∣−r1∣−∣ ∣XO2∣−r2∣=c, \bigl|\,|XO_1|-r_1\bigr|-\bigl|\,|XO_2|-r_2\bigr|=c,
∣XO1 ∣−r1 − ∣XO2 ∣−r2 =c, где постоянная $c\ge 0$ (левая разность неотрицательна по заданию; для общего случая можно считать $c\in \mathbb{R}$).
Разбиение на случаи. В зависимости от положения точки $X$ относительно каждой окружности вводим знаки
$${\epsilon }_i=\{\begin{array}{ll}+1,& |X{O}_i|\ge r_i(\text{точка снаружи}{C}_i),\\ -1,& |X{O}_i|<r_i(\text{точка внутри}{C}_i).\end{array}$$ Тогда
$$d_i(X)={\epsilon }_i|X{O}_i|-{\epsilon }_i{r}_i.$$ Подставляя в условие, получаем линейную по модулям формулу
$${\epsilon }_1|X{O}_1|-{\epsilon }_2|X{O}_2|=c+{\epsilon }_1{r}_1-{\epsilon }_2{r}_2.$$ В каждой фиксированной комбинации $({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)\in \{\pm 1{\}}^2$ правая часть — константа $K$, и уравнение принимает одну из двух форм:
1) если ${\epsilon }_1={\epsilon }_2$, то
$$|X{O}_1|-|X{O}_2|=K\text{(разность модулей)}\Rightarrow \text{ветвь гиперболы с фокусами}{O}_1,O_2;$$ 2) если ${\epsilon }_1=-{\epsilon }_2$, то
$$|X{O}_1|+|X{O}_2|=K\Rightarrow \text{эллипс с фокусами}{O}_1,O_2.$$
Условия существования и «обрезка» кривых. Полученные конические кривые должны удовлетворять геометрическим ограничениям:
- Уравнение эллипса $|X{O}_1|+|X{O}_2|=K$ имеет точки тогда и только тогда, когда $K\ge |O_1{O}_2|$ (строгое неравенство даёт непустой эллипс, равенство — вырожденный отрезок на отрезке $O_1{O}_2$).
- Уравнение гиперболы вида $||X{O}_1|-|X{O}_2||=D$ возможно только при $0\le D<|O_1{O}_2|$ (при $D\ge |O_1{O}_2|$ решений нет или вырождающиеся случаи).
Но важно: каждая коника берётся только в той области плоскости, где соответствующие ${\epsilon }_i$ действительно имеют выбранные значения (то есть кривая «обрезается» по положению точек относительно окружностей). Поэтому геометрическое место — не обязательно целая коника, а объединение соответствующих ветвей/частей эллипсов и гипербол, попадающих в нужные области (внутри/снаружи окружностей).
Вывод (кратко). Для непересекающихся окружностей геометрическое место точек с постоянной разностью расстояний до окружностей представляет собой объединение частей коник с фокусами в $O_1,O_2$: либо ветвей гипербол (из уравнений типа $|X{O}_1|-|X{O}_2|=\text{const}$), либо частей эллипсов (из уравнений типа $|X{O}_1|+|X{O}_2|=\text{const}$), причём каждая такая коника ограничена условиями принадлежности точек внутрь/снаружи исходных окружностей и дополнительными требованиями на величины констант, перечисленными выше.