Коротко и по существу.
Обозначения: пусть $(AHB),(BHC),(CHA)$ — описанные окружности треугольников $AHB,BHC,CHA$, а $(ABC)$ — описанная окружность исходного треугольника. Треугольник остроугольный, поэтому ортoцентр $H$ лежит внутри.
1) Точки пересечения.
- Каждая из окружностей $(AHB),(BHC),(CHA)$ проходит через $H$ и через две вершины: например $(BHC)$ через $B,C,H$. Следовательно любые два из этих кругов пересекаются ровно в двух точках: в общей вершине и в $H$. Формально
$(AHB)\cap (BHC)=\{B,H\}$, $(BHC)\cap (CHA)=\{C,H\}$, $(CHA)\cap (AHB)=\{A,H\}$.
Тройного пересечения кроме $H$ нет: все три окружности имеют единственную общую точку $H$.
2) Радикальные оси и их точка пересечения.
- Радикальная ось двух окружностей — прямая, проходящая через их точки пересечения. Поэтому радикальные оси пар этих окружностей совпадают с высотами треугольника:
радикальная ось $(AHB)$ и $(BHC)$ — прямая $BH$ (высота из $B$), и т.д.
- Значит радикальные оси трех пар — $AH,BH,CH$ — пересекаются в одной точке, это $H$. То есть $H$ — радикальный центр трёх окружностей.
3) Ортогональность с описанной окружностью $(ABC)$.
- В треугольнике $\angle BHC=180^{\circ }-\angle A$ (аналогично для других двух). В то же время на $(ABC)$ угол, опирающийся на хорду $BC$, равен $\angle BAC=\angle A$.
- Для двух окружностей, пересекающихся в точках $B,C$, условие ортогональности эквивалентно тому, что суммы опирающихся на ту же хорду вписанных углов равны $180^{\circ }$. Отсюда
$\angle BHC+\angle BAC=(180^{\circ }-\angle A)+\angle A=180^{\circ }$,
значит $(BHC)$ и $(ABC)$ взаимно перпендикулярны. Аналогично $(AHB)\perp (ABC)$ и $(CHA)\perp (ABC)$.
- Следствие: касательные к $(ABC)$ и к соответствующей из трёх окружностей в точках общих вершин образуют прямой угол.
4) Дополнительные классические факты (кратко).
- Отражение $H$ относительно стороны $BC$ лежит на $(ABC)$ и равно второму пересечению высоты из $A$ с $(ABC)$.
- Точки пересечения высот, радикальные оси, ортогональность дают богатую систему симметрий и гомотетий (например, гомотетии между окружностями, связывающие свойства центров и радиусов), но основная схема описана выше.
5) Зависимость от типа треугольника.
- Остроугольный: $H$ внутри; все три окружности пересекают стороны и друг друга «внутри» фигуры по описанным свойствам; $H$ — радикальный центр внутри.
- Прямоугольный (например $\angle A=90^{\circ }$): тогда $H$ совпадает с вершиной прямого угла ($H=A$). Некоторые из рассматриваемых треугольников вырождаются или одна из окружностей совпадает с $(ABC)$ (например $(BHC)=(ABC)$ при $H=A$), привычные утверждения об ортогональности/радикальных осях вырождаются.
- Тупоугольный: $H$ лежит вне треугольника; все перечисленные алгебраические и угловые соотношения сохраняются (в частности $\angle BHC=180^{\circ }-\angle A$ остаётся верным), поэтому окружности по-прежнему попарно пересекаются в вершине и в $H$, а каждая из них ортогональна $(ABC)$; однако геометрическая картинка (расположение центров, участки окружностей внутри треугольника и т.д.) меняется — $H$ и радикальный центр оказываются вне треугольника.
Краткий итог: в остроугольном треугольнике три окружности $(AHB),(BHC),(CHA)$ пересекаются попарно ровно в вершине и в ортoцентре $H$; их радикальные оси — высоты $AH,BH,CH$ и радикальный центр — $H$; каждая из трёх окружностей ортогональна описанной окружности $(ABC)$. При переходе к прямому или тупому треугольнику эти свойства (за вычетом вырождения в прямом случае) сохраняют алгебраическую форму, но изменяется расположение точек и дуг в плоскости.