Ключевая идея. Перенос координат (сдвиг всей системы на вектор $t$) не меняет векторов между точками: при переходе $X\mapsto X^{\prime }=X+t$ выполняется
$X^{\prime }{Y}^{\prime }=XY$.
Отсюда параллельность (одинаковые или пропорциональные векторы) и перпендикулярность (нулевой скалярный произведение) остаются инвариантными при переносе. Поэтому можно поставить начало координат в удобную вершину или точку и работать с векторами напрямую.
Объяснение в общем виде. Пусть точки имеют координаты $A(x_A,y_A,z_A),B(x_B,y_B,z_B)$. Вектор
$AB=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$.
Если поставить начало в $A$ (сделать перевод на вектор $-OA$), то $A^{\prime }=(0,0,0)$, $B^{\prime }=AB$. Тогда
- $AB$ параллелен $CD$ тогда и только тогда, когда $AB$ пропорционален $CD$.
- $AB$ перпендикулярен плоскости с нормалью $n$ тогда и только тогда, когда $AB\cdot n=0$.
Все эти проверки сводятся к сравнению векторов и вычислению скалярных/векторных произведений, что гораздо проще при удобном переносе.
Пример 1 (параллелепипед). Поставим одну вершину параллелепипеда в начало: $A=(0,0,0)$. Пусть три рёбра из $A$ заданы векторами
$u,v,w$. Тогда остальные вершины имеют координаты
$B=u,C=v,D=w,B^{\prime }=u+v,C^{\prime }=v+w,D^{\prime }=w+u,E=u+v+w$.
Тогда, например,
$AB=u,C^{\prime }{D}^{\prime }=(w+u)-(v+w)=u$,
откуда $AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$. Все подобные утверждения проверяются одинаково: противоположные рёбра дают одинаковые векторные выражения.
Пример 2 (перпендикулярность ребра и плоскости). В той же системе пусть грань $ABC$ задаётся векторами $u=AB,v=AC$. Нормаль к этой плоскости равна
$n=u\times v$.
Ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABC$ тогда и только тогда, когда
$AD\cdot n=0$.
В координатах, когда $A=(0,0,0)$, это простая алгебра: вычислить $u,v,AD$ и проверить одно скалярное произведение.
Иллюстрация конкретными числами. Поставим $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0),D=(0,0,1)$. Тогда
$u=(1,0,0),v=(0,1,0),AD=(0,0,1)$,
$n=u\times v=(0,0,1)$.
И действительно $AD\cdot n=1\ne 0$ — в данном примере $AD$ параллелен нормали, значит перпендикулярен плоскости $ABC$. Параллельности тоже видно мгновенно: напр., противоположные ребра параллельны потому, что имеют одинаковые векторные представления.
Вывод. Перенос координат позволяет поставить удобное начало, свести геометрические утверждения о параллельности и перпендикулярности к простым векторным равенствам и скалярным произведениям; это устраняет необходимость длинных координатных преобразований и упрощает доказательства в многогранниках.