Теорема. Пусть заданы три неположённые на одной прямой точки $A,B,C\in {\mathbb{R}}^3$. Для $P\in {\mathbb{R}}^3$ положим
$$f(P)=PA+PB+PC.$$ Обозначим множество уровня
$$L_s=\{P\in {\mathbb{R}}^3:f(P)=s\}.$$ Тогда существует минимальное значение
$$m=\underset{P\in {\mathbb{R}}^3}{\min }f(P),$$ и выполняется:
1) если $s<m$, то $L_s=\varnothing$;
2) если $s=m$, то множество минимизаторов одноточечно: $L_m=\{P_0\}$, где $P_0$ — точка Ферма (если в треугольнике $ABC$ есть угол $\ge 120^{\circ }$, то $P_0$ совпадает с соответствующей вершиной);
3) если $s>m$, то множество
$$S_s=\{P:f(P)\le s\}$$ есть компактное строго выпуклое множество, а уровень $L_s=\partial S_s$ — гладкая ($C^1$) двумерная поверхность, граница этого выпуклого тела.
Доказательство (кратко).
1. Существование минимума. Функция $f$ непрерывна и «коэрцитивна»: при $|P|\to \infty$ имеем $f(P)\ge PA\sim |P|\to \infty$ (точнее $f(P)\ge 3|P|-\mathrm{const}$), поэтому инфимум достигается и равен некоторому $m$.
2. Уникальность минимума. Функция расстояния к точке $X\mapsto |X-A|$ выпукла, следовательно $f$ — выпуклая функция. Если бы было два различных минимума $P_1\ne P_2$, то на отрезке $[P_1,P_2]$ из выпуклости $f$ была бы константа, что из условий равенства в неравенстве треугольника даёт, что точки $A,B,C$ лежат на одной прямой параллельно этому отрезку — противоречие с неколлинеарностью. Значит минимум единственен.
3. Характер минимума. В гладких точках $P\notin \{A,B,C\}$ градиент
$$\nabla f(P)=\frac{P-A}{|P-A|}+\frac{P-B}{|P-B|}+\frac{P-C}{|P-C|}.$$ Для минимума внутренней точки должно быть $\nabla f(P_0)=0$, то есть три вектора-единицы дают нулевой вектор; это эквивалентно тому, что углы между направлениями $P_{0}A,P_{0}B,P_{0}C$ равны $120^{\circ }$ — это условие точки Ферма. В случае наличия угла треугольника $\ge 120^{\circ }$ минимум достигается на соответствующей вершине (там одна из слагаемых недифференцируема), это согласуется с общим описанием.
4. Структура уровней для $s>m$. Подмножество $S_s=\{f\le s\}$ является ограниченным (так как $f\to \infty$ на бесконечности), замкнутым и выпуклым (сумма выпуклых функций выпукла), значит компактно и выпукло. Уровень $L_s=\partial S_s$ — граница выпуклого компактного множества. Для $s>m$ градиент $\nabla f$ нигде на $L_s$ не обращается в ноль: иначе точка с нулевым градиентом была бы глобальным минимумом и $f(P)=m$. Поэтому по теореме о неявной функции $L_s$ — $C^1$-поверхность. Выпуклость $S_s$ делает её строго выпуклой границей.
Связь с эллипсоидом. Случай двух фокусов: для двух фиксированных точек $A,B$ множество $\{P:PA+PB=s\}$ в ${\mathbb{R}}^3$ при $s>AB$ есть эллипсоид (квадратическая поверхность). Для трёх фокусов общий уровень $L_s$ в общем случае не является квадрикой и потому не эллипсоидом: пересечение $L_s$ с плоскостью, содержащей $A,B,C$, даёт в этой плоскости кривую $\{P:PA+PB+PC=s\}$, а такая плоская кривая в общем случае не есть коника (не сводится к сумме расстояний до двух фокусов). Исключения возможны при специальных симметриях (например, когда три точки коллинеарны — тогда задача сводится к двухфокусной и получится эллипсоид), но для общих трёх непараллельных точек поверхность не квадратична.
Заключение. Итак, множества $L_s$ для трёх неколлинеарных точек дают семейство выпуклых гладких замкнутых поверхностей (для $s>m$), общее по свойствам с эллипсоидом (выпуклость, компактность), но в общем случае не совпадают с эллипсоидами (не квадратичны).