Коротко сформулирую основные общие утверждения, дам короткие доказательства и приведу предельные примеры при $n\to \infty$.
1) Обозначения. Для выпуклого $n$-угольника пусть $P$ — периметр, $S$ — площадь. Если многоугольник вписан в окружность радиуса $R$ (цикличен), то соответствующие центральные углы сторон обозначим ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n$ ( $\sum {\gamma }_i=2\pi$ ). Если у многоугольника существует вписанная окружность радиуса $r$ (многоугольник описан около окружности), то говорим, что он тангенциальный.
2) Циклические многоугольники — верхние оценки через $R$.
Разложим циклический $n$-угольник на $n$ равных по вершинам треугольников с вершинами в центре окружности. Тогда
$$S=\frac{1}{2}{R}^2\sum _{i=1}^n\sin {\gamma }_i,P=2R\sum _{i=1}^n\sin \frac{{\gamma }_i}{2},\sum _{i=1}^n{\gamma }_i=2\pi .$$ Функции $\sin x$ и $\sin (x/2)$ выпуклости/вогнутости на соответствующих отрезках дают, по неравенству Йенсена (sin вогнута на $[0,\pi ]$):
$$\sum _{i=1}^n\sin {\gamma }_i\le n\sin \frac{2\pi }{n},\sum _{i=1}^n\sin \frac{{\gamma }_i}{2}\le n\sin \frac{\pi }{n}.$$ Отсюда верхние границы
$$S\le \frac{n}{2}{R}^2\sin \frac{2\pi }{n},P\le 2nR\sin \frac{\pi }{n},$$ и равенства достигаются тогда и только тогда, когда все ${\gamma }_i=2\pi /n$, т.е. при правильном циклическом $n$-угольнике.
3) Для фиксированного периметра $P$ — верхняя оценка площади (полигональное изопериметрическое утверждение). Среди всех выпуклых $n$-угольников с данным $P$ максимальная площадь достигается правильным многоугольником; для него
$$S_{\max }=\frac{P^2}{4n}\cot \frac{\pi }{n}.$$ Короткое обоснование: сначала для фиксированных сторон максимальная площадь достигается у циклического многоугольника (классический факт: при фиксированных длинах сторон максимальная площадь — у вписанного в окружность), затем при фиксированном суммарном размере сторон (периметре) по симметрии/Йенсену максимум достигается при всех сторонах равных. Подставляя формулы для правильного $n$-угольника получаем указанную формулу.
4) Тангенциальные многоугольники. Если многоугольник имеет вписанную окружность радиуса $r$, то справедливо точное соотношение
$$S=\frac{1}{2}rP.$$ (Доказательство: площадь разбивается на $n$ треугольников с общей высотой $r$.)
Комбинации этих тождеств дают дополнительные неравенства. Например, если многоугольник одновре-менно тангенциальный и имеет периметр $P$, то
$$\frac{1}{2}rP=S\le \frac{P^2}{4n}\cot \frac{\pi }{n}\Rightarrow r\le \frac{P}{2n}\cot \frac{\pi }{n},$$ а для правильного многоугольника $r=\frac{P}{2n}\cot \frac{\pi }{n}$.
5) Правильный $n$-угольник — явные формулы. Пусть сторона $a$. Тогда
$$P=na,R=\frac{a}{2\sin (\pi /n)},r=\frac{a}{2\tan (\pi /n)},$$ $$S=\frac{n}{2}{R}^2\sin \frac{2\pi }{n}=\frac{P^2}{4n}\cot \frac{\pi }{n}.$$ Отсюда отношение радиусов для правильного многоугольника
$$\frac{R}{r}=\sec \frac{\pi }{n}.$$
6) Предельное поведение при $n\to \infty$. Для правильных многоугольников (а следовательно и как верхняя граница среди всех $n$-угольников) имеем пределы к окружности:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=2\pi R,\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\pi R^2,\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n=R,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{R}{r}=1.$$ Если фиксирован периметр $P$, то предельная максимальная площадь при $n\to \infty$ равна площади круга с этим периметром:
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{P^2}{4n}\cot \frac{\pi }{n}=\frac{P^2}{4\pi },$$ что совпадает с формулой площади круга $S=\frac{P^2}{4\pi }$.
Замечания о нижних границах: при фиксированном $n$ и фиксированном $P$ минимальная площадь равна $0$ (вырождающиеся, «сжатые» многоугольники), поэтому только верхние границы дают значимую оценку сверху; при требовании невырожденности можно получить положительную нижнюю оценку, зависящую дополнительными условиями (например, ограничение на минимальную длину стороны или на вписанность в кольцо и т.п.).
Итого: главные общие утверждения — формулы для правильного $n$-угольника (выражающие $P,S,R,r$), верхние оценки для цикличных многоугольников через $R$, тождество $S=\frac{1}{2}rP$ для тангенциальных, и предельное сближение с окружностью при $n\to \infty$.