Коротко, но с пояснениями.
Определение. Инверсия с центром $O$ и радиусом $r$ переводит точку $P\ne O$ в точку $P^{\prime }$ на луче $OP$ так, что $OP\cdot O{P}^{\prime }=r^2.$
Основные свойства (формулировки и примеры преобразований линий/окружностей)
- Линии и окружности.
- Линия, проходящая через центр инверсии $O$, инвариантна как множество точек (каждая точка на ней остаётся на той же прямой); близкие точки меняют расстояния по правилу $OP\cdot O{P}^{\prime }=r^2.$ - Линия, не проходящая через $O$, преобразуется в окружность, проходящую через $O$.
- Окружность, проходящая через $O$, преобразуется в прямую, не проходящую через $O$.
- Окружность, не проходящая через $O$, преобразуется в другую окружность, также не проходящую через $O$.
- Примеры: прямая $l$ с расстоянием $d$ от $O$ при инверсии радиуса $r$ даёт окружность радиуса $\frac{r^2}{2d}$ с центром на перпендикуляре к $l$ через ближайшую к $O$ точку; окружность радиуса $R$, отстоящая от $O$ на $D$ (и $D\ne R$), переходит в окружность радиуса $\frac{r^{2}R}{|D^2-R^2|}$.
- Тангенциальность и соприкосновения.
- Инверсия сохраняет касание: если две кривые касаются в точке $X$, то их образы касаются в $X^{\prime }$.
- Частный случай: общая касательная к двум окружностям переходит в общую касательную или в общую точку касания их образов.
Угол и ориентация
- Инверсия является конформным отображением: она сохраняет (малые) углы между кривыми в абсолютной величине. Формально, если кривые пересекаются под углом $\theta$, то образы пересекаются под тем же углом $\theta$. При этом ориентация угла обращается (инверсия меняет ориентацию).
Критерии, когда инверсия упрощает задачу (практические принципы выбора инверсии)
- Есть общая точка (или предполагается её существование) у многих окружностей/дуг/касательных — берём инверсию с центром в этой точке: все окружности через неё превратятся в прямые, что часто сильно упрощает конфигурацию.
- В задаче много касательных/касательных цепочек — инверсия сохраняет касание и часто переводит окружности в линии, сводя задачу к геометрии прямых.
- Наличие симметрий относительно окружности (коаксиальность, общая точка соприкосновения, гомотетии) — инверсия может превратить гомотетические окружности в концентрические или в параллельные прямые.
- Желание превратить сложную систему окружностей в систему линий или концентрических окружностей: выбираем центр и радиус инверсии так, чтобы важные окружности проходили через центр или чтобы один из объектов стал окружностью с удобным положением.
Иллюстрация: случай, где инверсия снижает порядок сложности доказательства
Пример (схематическая, классическая ситуация — теорема Монжа в частном варианте). Имеются три непересекающиеся окружности $S_1,S_2,S_3$. Для каждой пары окружностей определён центр внешней гомотетии (точка, из которой одна окружность видна как гомотетичное изображение другой); теорема Монжа утверждает, что три такие точки попарной гомотетии лежат на одной прямой.
Классическое доказательство через инверсию (схема упрощения):
- Выберем инверсию с центром в любой точке $X$ — например, в центре внешней гомотетии пар $S_1,S_2$. Под этой инверсией пары окружностей, участвующие в гомотетиях с $X$, превращаются в пары окружностей, причём одну из окружностей каждой такой пары можно сделать концентричной с другой (или в линию), то есть конфигурация сводится к тривиальному случаю для концентрических окружностей (или линий), где центры гомотетии очевидно коллинеарны. Обратной инверсией получаем, что в исходной конфигурации точки внешней гомотетии тоже коллинеарны.
- Итого: сложный случай трёх общих гомотетий сводится к простому случаю концентрических окружностей (линий), что делает доказательство коротким и прозрачным, вместо громоздких аналитических/проективных выкладок.
Ещё более «прикладной» пример (конструкция окружности, касающейся двух окружностей и прямой). Если требуется построить окружность, касающуюся данной прямой $l$ и двух окружностей $C_1,C_2$, то удобна инверсия с центром в точке касания искомой окружности с $l$ (если точка неизвестна, часто берут инверсию в удобной точке на $l$): прямая $l$ превратится в себя (если центр на $l$) или в окружность, а окружности $C_1,C_2$ — в линии или окружности. В результате задача сводится к построению окружности, касающейся двух линий и/или одной окружности — гораздо проще (вплоть до прямых пересечений и симметрий). Практически все задачи типа «построить окружность, касающуюся трёх объектов (линия/окружность)» часто решаются через подбор инверсии, превращающей нужную комбинацию объектов в комбинацию линий.
Замечания и предупреждения
- Инверсия не сохраняет расстояния и круговую симметрию радиусов; она удобна именно для задач с касательностями, общими точками, гомотетиями и коаксиальностью.
- При выборе центра инверсии обычно полезно ставить его в «особенную» точку конфигурации (точка касания, пересечения окружностей, центр гомотетии), чтобы как можно больше кривых стали прямыми или концентрическими окружностями.
Краткое резюме
- Правило: $OP\cdot O{P}^{\prime }=r^2.$ - Линия не через $O$ ↔ окружность через $O$; окружность через $O$ ↔ линия; окружность не через $O$ ↔ окружность не через $O$.
- Инверсия сохраняет углы (конформность), меняет ориентацию.
- Когда много касаний/общих точек/гомотетий → инверсия часто резко упрощает задачу (превращает окружности в линии или в концентрические окружности), что делает доказательства короче — классический пример: доказательство Монжа и сведение задач типа Апполония к случаям с линиями.