Коротко: для простого выпуклого четырёхугольника с диагоналями длины $p$ и $q$, пересекающимися под углом $\theta$, площадь равна
$$S=\frac{1}{2}pq\sin \theta$$ (в общем случае удобнее писать $S=\frac{1}{2}pq|\sin \theta |$). Ниже — три доказательства и их сравнение.
1) Геометрический (разбиением на треугольники).
Пусть диагонали пересекаются в точке $O$; обозначим $AO=x,OC=x^{\prime },BO=y,OD=y^{\prime }$. Площадь четырёхугольника — сумма площадей четырёх треугольников:
$$S=\frac{1}{2}(xy+x^{\prime }y+x^{\prime }{y}^{\prime }+x{y}^{\prime })\sin \theta =\frac{1}{2}(x+x^{\prime })(y+y^{\prime })\sin \theta =\frac{1}{2}pq\sin \theta .$$ Плюсы: наглядно, минимальная «алгебра», хорошо для школьников, знакомых с площадью треугольника и соотношением $\text{площадь}=\frac{1}{2}ab\sin \varphi$. Минусы: нужно вводить угол между диагоналями и знание синуса (или уметь выражать высоты через угол).
2) Векторный (или через псевдоскалярное произведение / «векторное произведение» в плоскости).
Пусть векторы диагоналей равны $p$ и $q$. Ориентированная площадь четырёхугольника равна половине модуля векторного (в 2D — псевдоскалярного) произведения:
$$S=\frac{1}{2}|p\times q|=\frac{1}{2}|\det (p,q)|=\frac{1}{2}pq|\sin \theta |.$$ Плюсы: кратко, элегантно, хорошо для старших классов и для тех, кто знаком с векторами/детерминантом. Минусы: требует знаний векторов/детерминантов — не подходит младшим.
3) Координатный (аналитический).
Поставим точку пересечения диагоналей в начало координат; диагонали зададим векторами $p$ и $q$. Координатная формула площади через детерминант даёт
S=12∣det⁡(p⃗,q⃗)∣=12∣pqsin⁡θ∣. S=\tfrac12\left|\det(\vec p,\vec q)\right|=\tfrac12\big|p q\sin\theta\big|.
S=21 ∣det(p ,q )∣=21 pqsinθ . Альтернативно можно расставить вершины явно и применить формулу Гаусса (shoelace). Плюсы: системно, удобно для вычислений и проверки; подходит для олимпиад и для тех, кто любит алгебру. Минусы: менее «геометрично» и требует навыков работы с координатами/детерминантами.
Краткое сравнение по уровням:
- начальная/средняя школа (уровень с тригонометрией для треугольников): геометрическое разбиение — оптимально (наглядно, минимально формально); если синуса ещё нет — нужно вводить высоту и определение синуса; без тригонометрии формулы в виде произведения диагоналей не получить;
- старшая школа (векторная/координатная программа изучена): векторный или координатный подходы короче и мощнее, дают удобные обобщения (ориентированая площадь, самопересекающиеся фигуры, вычисления);
- олимпиадный уровень: выбирать по задаче — вектора/детерминант дают чистое решение, геометрический — лучший для доказательной наглядности.
Замечание о применимости: формула верна для простого (в частности выпуклого) четырёхугольника; для самопересекающихся или «вогнутых» фигур надо учитывать ориентированную площадь или брать модуль $\sin \theta$.