Пусть фиксированная директриса $d$ и прямая перемещения фокуса $L$ перпендикулярна $d$. Пусть точка пересечения $L$ и $d$ взять за начало системы координат, положим $d:y=0$, $L:x=0$. Фокус возьмём в положении $F(0,s)$ (параметр $s$ меняется вдоль $L$). Тогда:
1) Уравнение параболы (равенство расстояний до фокуса и до директрисы, при $s>0$):
$$\sqrt{x^2+(y-s{)}^2}=y⟹x^2+(y-s{)}^2=y^2⟹x^2=2sy-s^2.$$ Переходя к координате, отстоящей от вершины, $Y=y-\frac{s}{2}$, получаем каноническую форму
$$x^2=4pY,p=\frac{s}{2}.$$
2) Вершина $V$ — середина отрезка между фокусом и его перпендикулярной проекцией на директрису (точкой начала):
$$V(0,\frac{s}{2}).$$ Значит при смещении фокуса на $\Delta s$ вершина смещается на $\frac{\Delta s}{2}$.
3) Фокусно-директрисное расстояние (расстояние между фокусом и прямой $d$) равно
$$\mathrm{dist}(F,d)=|s|.$$ Расстояние от вершины до фокуса (обычно обозначаемое $p$) равно
$$p=\frac{|s|}{2},$$ и соответственно расстояние фокус–директриса $=2p$.
4) Ось симметрии каждой параболы — это прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе; при нашем расположении это всегда
$$x=0.$$ Следовательно, для всего семейства оси совпадают и равны линии $L$.
Итоговые геометрические места: вершины всех парабол лежат на той же прямой $L$ (в точности в серединах между фокусами и их проекцией на $d$), а оси симметрии всех парабол совпадают с $L$. Параметр «остроты» параболы $p$ изменяется линейно с положением фокуса: $p=\frac{1}{2}\mathrm{dist}(F,d)$.