Коротко — сначала идея, затем формулы и связь с теоремой Менелая (и её трёхмерным аналогом).
Идея. В тетраэдре $ABCD$ точка $M$ на $AB$ и точка $N$ на $CD$ таковы, что прямые $CM$ и $AN$ пересекаются в $P$. Такие трёхмерные конфигурации изучаются с помощью обычных (планарных) теорем Чева и Менелая, применённых к плоскостям-граням тетраэдра или к проекциям на подходящую плоскость. В результате получают условия на отношения отрезков, выражаемые в виде произведения дробей — это даёт критерии колинеарности и компланарности в пространстве. В 3D эти утверждения являются естественными обобщениями Менелая и Чева и взаимно связаны двойственностью (плоскость ↔ точка, коллинеарность ↔ компланарность).
Основные формулы (сырой KaTeX).
1) Планарные классические формулы (для справки)
- Менелай (в треугольнике $ABC$, точки $X\in BC,Y\in CA,Z\in AB$ коллинеарны) :
$$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=-1$$ (ориентированные отрезки).
- Чева (в треугольнике $ABC$, лучи $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке) :
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$
2) Трёхмерная (тетраэдральная) теорема Менелая (формулировка удобна для сечущей плоскости). Пусть плоскость пересекает ребра $AB,BC,CD,DA$ тетраэдра $ABCD$ в точках $X,Y,Z,T$ соответственно (по контуру), тогда ориентированно
$$\frac{AX}{XB}\cdot \frac{BY}{YC}\cdot \frac{CZ}{ZD}\cdot \frac{DT}{TA}=1.$$ (Это — естественный «замкнутый» аналог Менелая для четырёх пересечений цикла рёбер тетраэдра одной плоскостью.)
3) Трёхмерный (пространственный) критерий колинеарности пересечений противоположных рёбер. Пусть на трёх парах противоположных рёбер тетраэдра поставлены точки:
$$M\in AB,N\in CD;M^{\prime }\in AC,N^{\prime }\in BD;M^{\prime \prime }\in AD,N^{\prime \prime }\in BC.$$ Рассмотрим три пересечения «перекрещивающихся» прямых (например)
$$X=CM\cap AN,Y=C{M}^{\prime }\cap A{N}^{\prime },Z=C{M}^{\prime \prime }\cap A{N}^{\prime \prime }.$$ Тогда $X,Y,Z$ коллинеарны тогда и только тогда, когда произведение шести ориентированных отношений, взятое по всем трём парам, равно $1$. Формально одно из эквивалентных записаний:
$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{B{N}^{\prime }}{N^{\prime }C}\cdot \frac{C{P}^{\prime \prime }}{P^{\prime \prime }D}\cdot \frac{D{M}^{\prime }}{M^{\prime }A}\cdot \frac{AN}{NB}\cdot \frac{B{P}^{\prime }}{P^{\prime }C}=1,$$ (в зависимости от нумерации пар выражение выглядит иначе, но по смыслу — это произведение отношений по всем шести отрезкам по контуру тетраэдра = $1$). Это — трёхмерный аналог Менелая: коллинеарность трёх точек, полученных как попарные пересечения прямых, соответствует замкнутому уравнению для отношений на рёбрах.
4) Двойственность с Чевой в пространстве. Существует двойственное утверждение (пространственный Чева): условия компланарности/конкуренции четырёх плоскостей/лучей, проведённых к противоположным граням, даются аналогичным соотношением произведения отношений = $1$. Практически все пространственные версии доказываются свёрткой (пересечением) тетраэдра подходящими плоскостями-гранями и применением планарных Менелая/Чева к этим сечениям.
Как применять в вашем примере. Для конкретного случая $M\in AB,N\in CD,P=CM\cap AN$:
- взять одну из граней, содержащих $C$ и $M$ (например плоскость $ABC$) — на ней лежит прямая $CM$ и точка $P$; применяя планарные теоремы к треугольникам-граням, можно получить соотношения между $\frac{AM}{MB},\frac{CN}{ND}$ и отношениями, в которых участвует $\frac{AP}{PN}$ (через пересечения с другими рёбрами и гранями);
- если одновременно заданы точки на других двух парах противоположных рёбер и построены аналогичные пересечения, то проверяется вышеописанное произведение шести отношений: если оно равно $1$, три пересечения будут коллинеарны; иначе — нет.
Вывод (коротко). Геометрически данная «CM ∩ AN = P» — частный случай пространства, и все утверждения о колинеарности/компланарности такого рода выводятся сведением к планарному Менелаю/Чеве либо применением их трёхмерных форм (тетраэдральный Менелай и пространственный Чева). В практической работе: выберите три грани/сечения, выпишите Менелаевы соотношения на них и составьте итоговое произведение отношений — равенство $1$ даёт нужное условие колинеарности/компланарности.