Пусть даны три отрезка с длинами $u,v,w$. Требуется построить треугольник, в котором два отрезка служат сторонами, а третий (скажем $w$) — медианой, проведённой из вершины между этими двумя сторонами на противоположную сторону. Обозначим стороны, прилежащие к данной медиане, через $u$ и $v$; длина противоположной стороны обозначена через $c$.
1) Формула (Апполония) для медианы:
$$w^2=\frac{2u^2+2v^2-c^2}{4}⟹c^2=2(u^2+v^2)-4w^2.$$ Следовательно
$$c=\sqrt{2(u^2+v^2)-4w^2},$$ если подкоренное положительно (включая нуль для вырожденного случая).
2) Условия существования невырожденного треугольника:
$$2(u^2+v^2)-4w^2>0$$ и одновременно выполняется неравенство треугольника
$$|u-v|<c<u+v.$$ Если в правой формуле $c$ получается равным $0$ или $c\le |u-v|$ или $c\ge u+v$, то либо треугольник вырожден, либо решения нет.
3) Количество решений:
- Для фиксированного выбора, какие два отрезка взять за стороны, а какой за медиану, значение $c$ однозначно определяется формулой. Треугольник с тремя заданными сторонами $(u,v,c)$ единственен с точностью до зеркального отражения (т.е. единственный в классе конгруэнтности; при построении обычно получают две зеркальные фигуры).
- Если разрешено менять, какой из трёх отрезков является медианой, то надо проверить все 3 перестановки $(u,v,w)$, $(u,w,v)$, $(v,w,u)$ в роли $({\text{сторона}}_1,{\text{сторона}}_2,\text{медиана})$. Число допустимых треугольников равно числу перестановок, для которых выполнены условия из пункта 2 (максимум — 3). Таким образом возможны случаи: единственное решение (только одна перестановка годна), несколько решений (две или три перестановки годны), или отсутствие решений (ни одна перестановка не даёт допустимого $c$).
4) Краевые случаи:
- Если $2(u^2+v^2)-4w^2=0$ даёт $c=0$ — вырожденная «цепочка» (нет невырожденного треугольника).
- Если $c=|u-v|$ или $c=u+v$ — вырождение (точки на одной прямой).
- Зеркальные варианты считаются разными при чисто геометрическом построении, но конгруэнтными в метрическом смысле.
Краткий алгоритм построения (для данной перекладки: $u,v$ — стороны, $w$ — медиана):
1. Вычислить $c=\sqrt{2(u^2+v^2)-4w^2}$. Проверить условия из пункта 2.
2. Построить отрезок длины $c$ — это основание.
3. Построить треугольник со сторонами $u,v,c$ (обычно два зеркальных варианта). Медиана из вершины между сторонами $u$ и $v$ по конструкции будет иметь длину $w$.
Это полностью описывает условия единственности, множественности и отсутствия решений.