Аналитическое и синтетическое доказательства теоремы Чева дают разные подходы к одной и той же задаче. Ниже — по одному решению каждым методом и краткая оценка их преимуществ/ограничений и критериев выбора в обучении.
1) Аналитическое доказательство (координатный метод).
- Постановка. Положим вершины треугольника в координатах
$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$.
Точки деления сторон зададим параметрами
$D=B+s(C-B)=(1-s,s),E=C+t(A-C)=(0,1-t),F=A+u(B-A)=(u,0)$,
где $s,t,u\in (0,1)$. Тогда
$\frac{BD}{DC}=\frac{s}{1-s},\frac{CE}{EA}=\frac{t}{1-t},\frac{AF}{FB}=\frac{u}{1-u}.$
- Уравнения прямых. Прямая $AD$: $y=\frac{s}{1-s}x$.
Прямая $BE$ через $B(1,0)$ и $E(0,1-t)$: $y=(t-1)(x-1)$.
Прямая $CF$ через $C(0,1)$ и $F(u,0)$: $y=1-\frac{x}{u}$.
- Конкурентность. Пересечение $AD$ и $BE$ даёт точку с координатами
$$x=\frac{1-t}{\frac{s}{1-s}+1-t},y=\frac{\frac{s}{1-s}(1-t)}{\frac{s}{1-s}+1-t}.$$ Требуем, чтобы эта точка лежала на $CF$, т.е.
$$\frac{\frac{s}{1-s}(1-t)}{\frac{s}{1-s}+1-t}=1-\frac{1-t}{u(\frac{s}{1-s}+1-t)}.$$ Приведение к общему знаменателю и упрощение (замена $\frac{s}{1-s}=\frac{BD}{DC}$ и аналогично для прочих) дают эквивалентное условие
$$\frac{s}{1-s}\cdot \frac{t}{1-t}\cdot \frac{u}{1-u}=1,$$ что в исходных обозначениях равносильно
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1.$$ Таким образом, аналитически получено и необходимое, и достаточное условие Чева.
2) Синтетическое доказательство (метод масс/точек).
- Идея. Если три cevian'а $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке $O$, можно приписать вершинам массы так, чтобы суммарные массы «уравновешивали» отрезки на сторонах.
- Построение масс. На отрезке $BC$ точка $D$ делит его в отношении $BD:DC$. Положим массы при $B,C$ так, чтобы
$$\frac{BD}{DC}=\frac{m_C}{m_B}.$$ Аналогично на $CA$ и $AB$ положим массы так, чтобы
$$\frac{CE}{EA}=\frac{m_A}{m_C},\frac{AF}{FB}=\frac{m_B}{m_A}.$$ - Вывод. Перемножив последние три равенства, получаем
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{m_C}{m_B}\cdot \frac{m_A}{m_C}\cdot \frac{m_B}{m_A}=1.$$ Это доказывает необходимость условия. Обратно, если произведение равно $1$, то можно выбрать массы $m_A,m_B,m_C$, удовлетворяющие трём равенствам — тогда середины масс будут «совмещаться» в единой точке (центр тяжести), т.е. соответствующие cevian'ы пересекаются в одной точке. Следовательно, условие также достаточное.
3) Преимущества и ограничения методов.
- Аналитический метод:
+ Преимущества: прямой, формальный, даёт явный алгебраический критерий; легко автоматизируется; подходит при обобщениях (координатные преобразования, барицентрические/векторные формулы).
+ Ограничения: требует вычислений и аккуратной алгебры; менее нагляден геометрически; может скрывать геометрическую интуицию.
- Синтетический (массы/площади/подобие):
+ Преимущества: короткий, интуитивный, показывает «почему» соотношение равно единице; полезен для быстрого решения геометрических задач и построения аргументаций без алгебры.
+ Ограничения: иногда требует дополнительных допущений (внутренние точки, ориентированные отрезки) или понятия масс/ориентированных площадей; менее удобен при сложных обобщениях (например, координатных преобразованиях в аналитических задачах).
4) Критерии выбора метода в обучении.
- Начальная ступень (интуиция, формирование представлений): синтетический (массы/площади/подобие) — показывает геометрический смысл, легко визуализируется.
- Усиление алгебраических навыков или подготовка к аналитическим обобщениям: аналитический метод — развивает работу с координатами, параметрами, полезен в задачах с вычислениями и в олимпиадных обобщениях.
- Подготовка к экзаменам/решение задач быстро: выбирать в зависимости от задачи — если можно кратко применить массу/площади — это быстрее; если треугольник задан координатно или требуется точный вычислительный критерий — аналитика предпочтительнее.
- Комбинированный подход: сначала синтетическая интерпретация для понимания, затем аналитика для формализации и проверки — оптимален для глубокого обучения.
Кратко: синтетика даёт интуицию и краткость (массы/площадей), аналитика — строгость и возможность обобщений; выбор зависит от цели урока (понимание vs вычисление/обобщение).