Формулировка. В треугольнике A B C центры описанной окружности O, центроид (центр тяжести) G, ортоцентр H и центр девятиточечной окружности N лежат на одной прямой (линии Эйлера); при этом
$$g=\frac{a+b+c}{3},h=a+b+c,$$ если взять центр описанной окружности O за начало координат, поэтому
$$g=\frac{1}{3}h,OG:GH=1:2,$$ и центр девятиточечной окружности $N$ — середина отрезка $OH$: $n=\frac{1}{2}h$.
Доказательство (с векторами; O — начало). Пусть векторы вершин равны $a,b,c$ и $|a|=|b|=|c|=R$ (радиус описанной окружности). Ортоцентр H определяется пересечением высот, т.е. векторы $h-a$ перпендикулярны $b-c$. Проверим, что вектор $a+b+c$ удовлетворяет этому:
$$(a+b+c-a)\cdot (b-c)=(b+c)\cdot (b-c)=|b{|}^2-|c{|}^2=0.$$ Аналогично для высот из других вершин, поэтому
$$h=a+b+c.$$ Центроид есть среднее арифметическое вершин:
$$g=\frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{3}h,$$ откуда сразу следует коллинеарность $O,G,H$ и отношение $OG:GH=1:2$.
Девятиточечная окружность. Точки середины сторон имеют векторы $\frac{b+c}{2}$ и т.д.; расстояние от точки $\frac{1}{2}h$ до $\frac{b+c}{2}$ равно
∣b⃗+c⃗2−h⃗2∣=∣−a⃗2∣=R2, \left|\tfrac{\vec b+\vec c}{2}-\tfrac{\vec h}{2}\right|=\left|-\tfrac{\vec a}{2}\right|=\tfrac R2,
2b+c −2h = −2a =2R , то есть $n=\frac{1}{2}h$ — центр девятиточечной окружности, радиус $R/2$. Таким образом $N$ — середина $OH$ и тоже лежит на линии Эйлера.
О центре вписанной окружности I. В общем случае $I$ не лежит на линии Эйлера (исключения: равнобедренный, равносторонний треугольники и т.п.). Его положение определяется биссектрисами (угловыми свойствами), не связанными с вышеописанными векторными равенствами.
Сохранение свойств при аффинных и проективных преобразованиях.
Общие замечания:
- Аффинные и проективные преобразования сохраняют коллинеарность и пересечения прямых; аффинные дополнительно сохраняют отношения деления отрезка (а следовательно середины) и барицентрические комбинации.
- Проективные преобразования не сохраняют отношения отрезков (кроме кросс-отношения) и не сохраняют перпендикулярность и круги (они переводят в общие коники).
Конкретно:
- Коллинеарность O, G, H, N: раз O, G, H, N исходно коллинеарны, их образы при любом аффинном или проективном преобразовании также коллинеарны (коллинеарность сохраняется).
- Отношение деления $OG:GH=1:2$ и положение N как середины $OH$: эти дробные отношения сохраняются при аффинных преобразованиях (середины и барицентрические комбинации сохраняются), но не сохраняются при общих проективных преобразованиях.
- Образы точек O, H, I: сами геометрические роли не сохраняются в общем.
- O (центр описанной окружности) под аффинным образом переходит в центр соответствующей описывающей коники (образ окружности — эллипс) — это образ центра исходного круга, но не является в общем центром описанной окружности нового треугольника (т.к. у треугольника в общем случае нет «классического» описанного центра, зависящего от перпендикуляров). Перпендикулярность и равенство расстояний не сохраняются.
- H (ортоцентр) зависит от перпендикулярности высот, поэтому не сохраняет свою роль при аффинных/проект. преобразованиях; однако его образ остаётся образом точки H и вместе с образами O и G остаётся на одной прямой (см. выше).
- I (вписанный центр) переходит под аффинным отображением в центр вписанной эллиптической коники (образ инциркля), но не обязательно в центр окружности, вписанной в образ треугольника (если такой существует). При проектии вообще теряется «центрность» в евклидовом смысле.
- Девятиточечная окружность: под аффинным отображением девятиточечная окружность переходит в конику (эллипс), проходящую через образ девяти характерных точек; центр этой коники — образ центра девятиточечной окружности и остается серединой отрезка между образами O и H (поскольку середины и барицентрические деления сохраняются). При проектии девятиточечная окружность тоже переходит в конику, но свойства «радиуса = R/2» и «середина OH» в терминах отрезков не сохраняются (середина не инвариантна проектии).
Кратко:
- Коллинеарность линии Эйлера (образы O, G, H) — сохраняется и при аффинных, и при проективных преобразованиях.
- Числовое отношение $OG:GH=1:2$ и свойство N — середина $OH$ — сохраняются только при аффинных (не при проективных) преобразованиях.
- Свойства, зависящие от углов, перпендикулярности и кругов (ортоцентр, центры описанной/вписанной окружностей как такие) в общем не сохраняются ни при общих аффинных, ни при проективных преобразованиях; их образы — центры соответствующих образов коник.