Краткий итог: множество достижимых положений конца открытой цепочки из звеньев длин $l_1,\dots ,l_n$ (при свободном вращении шарниров, без ограничений углов и без учёта препятствий) — это все точки плоскости, расстояние от начала до которых $r$ лежит в отрезке $[r_{\min },r_{\max }]$, где
$$r_{\max }=\sum _{i=1}^n{l}_i,r_{\min }=\max \{0,2\underset{i}{\max }{l}_i-\sum _{i=1}^n{l}_i\}.$$ То есть множество достижимости — круговое кольцо (аннулус) центра в начальной точке с внутренним радиусом $r_{\min }$ и внешним $r_{\max }$. Если $r_{\min }=0$, это просто закрытый диск радиуса $r_{\max }$.
Обоснование (сжато):
- Верхняя граница $r_{\max }$ достигается при полной выпрямленности всех звеньев в одну линию (коллинеарно, в одну сторону).
- Нижняя граница получается из обобщённого неравенства треугольника: если одно звено, скажем длины $l_{\max }$, длиннее суммы остальных ${\sum }_{j\ne i}{l}_j$, то минимально возможное расстояние будет $l_{\max }-{\sum }_{j\ne i}{l}_j=2l_{\max }-{\sum }_i{l}_i$. В противном случае звенья можно так сложить, что конец совпадёт с началом и $r_{\min }=0$.
- Для любого $r$ между $r_{\min }$ и $r_{\max }$ можно конструктивно расположить звенья (свести проблему к последовательному «сгибанию») так, чтобы конец получил любую длину $r$; угол ориентации свободен, потому множество симметрично относительно начала.
Замечания и уточнения для робототехники:
- Если есть ограничения на углы шарниров (ограниченные суставы), то область достижимости получается как пересечение аннулуса с секторными ограничениями по направлению — её вычисление сложнее и зависит от наборов ограничений; обычно применяется численный поиск/отображение рабочего объёма (workspace).
- При требовании отсутствия самопересечений конфигурации, область достижимости может уменьшиться по топологии (появляются «пропуски»), но базовые радиусные границы $r_{\min },r_{\max }$ остаются те же; конкретный эффект зависит от геометрии звеньев и размеров. Для большинства практических манипуляторов самопересечение учитывают отдельно в планировании траекторий.
- Для замкнутых цепей (петля), т.н. механизма с замыканием, применяются условия существования многоугольника со сторонами $l_i$: все суммы подмножеств должны удовлетворять соответствующим неравенствам (общая форма — обобщённые неравенства треугольника), и пространство конфигураций существенно сузится.
- Практическое применение: анализ рабочего объёма робота (reachability), планирование траектории и обратная кинематика (проверка достижимости целевой точки), расчёт манипуляционной избыточности и зон недоступности; при учёте ограничений и препятствий переходят к численным методам (NIK, RRT, конфигурационное пространство).
Короткая формула-памятка:
$$\text{достижимо тогда и только тогда, когда}r\in [r_{\min },r_{\max }],r_{\max }=\sum _i{l}_i,r_{\min }=\max \{0,2\underset{i}{\max }{l}_i-\sum _i{l}_i\}.$$