Пусть окружности с центрами $O_1,O_2$ и радиусами $r_1,r_2$ непересекающиеся (включая случай «одна внутри другой» или концентричности). Для точки $P$ длина касательной к окружности равна квадратному корню от её мощности: длина касательной в квадрате к $(O_i,r_i)$ равна $P{O}_i^2-r_i^2$. Условие равенства длин касательных даёт
$$P{O}_1^2-r_1^2=P{O}_2^2-r_2^2,$$
откуда
$$P{O}_1^2-P{O}_2^2=r_1^2-r_2^2.$$
Это линейное уравнение по координатам точки $P$: множество решений — прямая, перпендикулярная отрезку $O_1{O}_2$ (радикальная ось соответствующих окружностей). Если обозначить расстояние между центрами $d=O_1{O}_2$ и отсчитать вдоль $O_1{O}_2$ от $O_1$, то точка перпендикуляра находится на расстоянии
$$x=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}$$
от $O_1$. Следовательно, все возможные геометрические места точек таковы:
- Если $O_1\ne O_2$ (неконцентричные окружности): искомое множество — прямая, перпендикулярная $O_1{O}_2$, проходящая через точку, заданную выше. В частном случае $r_1=r_2$ эта прямая — серединный перпендикуляр к $O_1{O}_2$.
- Если $O_1=O_2$ (концентричные): из уравнения следует $r_1^2=r_2^2$. Следовательно, при $r_1=r_2$ все точки плоскости дают равные касательные (множество — вся плоскость); при $r_1\ne r_2$ решений нет (пустое множество).
Замечания о реальных касательных: равенство мощностей выполняется для всех точек радикальной оси, но реальная (не мнимая) касательная к окружности существует только при $P{O}_i\ge r_i$. Поэтому множество точек, из которых существуют реальные касательные к обеим окружностям и они равны по длине, — пересечение радикальной оси с множеством точек, удовлетворяющих $P{O}_1\ge r_1$ и $P{O}_2\ge r_2$.
Как меняется множество при варьировании параметров:
- При непрерывном изменении радиусов и/или $d$ прямая смещается непрерывно вдоль перпендикуляра к $O_1{O}_2$; положение задаётся формулой для $x$.
- Если $r_1>r_2$, то $x>d/2$ (точка сдвига ближе к $O_2$); если $r_1<r_2$, точка сдвига ближе к $O_1$. При $r_1=r_2$ $x=d/2$.
- Положение относительно отрезка $O_1{O}_2$: перпендикуляр пересекает отрезок $O_1{O}_2$ тогда и только тогда, когда
$$|r_1^2-r_2^2|<d^2.$$
Если $|r_1^2-r_2^2|=d^2$, точка пересечения совпадает с одним из центров; если $|r_1^2-r_2^2|>d^2$, точка пересечения лежит вне отрезка (перпендикуляр проходит за пределами отрезка между центрами).
- При стремлении $d\to 0$ (центры сближаются): при $r_1\ne r_2$ уравнение перестаёт иметь конечное решение (множество исчезает), при $r_1=r_2$ остаётся вся плоскость.
Итак, в общем случае (неконцентричные окружности) геометрическое место точек — прямая (радикальная ось), дополнительно отброшенные точки внутри окружностей, если нужны реальные касательные; при концентричности — либо вся плоскость (равные радиусы), либо пустое множество (неравные радиусы).