Кратко — основные факты и доказательства, затем примеры.
1) Положение центров (интуиция и формулировки)
- Центр тяжести $G$ всегда лежит внутри треугольника, т.к. $G=\frac{A+B+C}{3}$ — выпуклая комбинация вершин.
- Ортоцентр $H$ лежит
- внутри треугольника ⇔ треугольник остроугольный;
- в вершине, где угол прямой ⇔ треугольник прямоугольный (ортцентр в вершине прямого угла);
- вне треугольника ⇔ треугольник тупоугольный.
Обоснование: при тупом угле одна из высот пересекает противоположную сторону вне её отрезка, поэтому пересечение высот (ортцентр) оказывается вне треугольника; при острых углах все высоты пересекают противоположные стороны внутри их отрезков, значит пересечение внутри.
- Описанный центр $O$ лежит
- внутри ⇔ треугольник остроугольный;
- в середине гипотенузы ⇔ треугольник прямоугольный;
- вне ⇔ треугольник тупоугольный.
Обоснование: точка, равноудалённая от трёх вершин, для тупого треугольника вынуждена лежать вне (перпендикулярные биссектрисы пересекаются вне выпуклого множества вершин).
2) Коллинеарность и отношение отрезков (Eulerova прямая)
Возьмём систему координат с началом в $O$ (ц. окружности). Тогда радиус-вектора вершин — $A,B,C$ удовлетворяют $OA=A$ и т.д. Для ортоцентра справедливо
$$OH=OA+OB+OC=A+B+C,$$ а для центра тяжести
$$OG=\frac{A+B+C}{3}.$$ Отсюда $OH=3OG$, значит точки $O,G,H$ коллинеарны (Eulerова прямая) и центр тяжести делит отрезок $OH$ в отношении
$$OG:GH=1:2,$$ всегда и независимо от типа треугольника. В частности $G$ всегда лежит между $O$ и $H$.
Следствия для острых/тупых треугольников:
- Острый: $O,G,H$ все внутри; порядок вдоль прямой $O-G-H$.
- Прямой: $O$ — середина гипотенузы (на границе), $H$ — вершина прямого угла (на границе), $G$ внутренняя и между ними.
- Тупой: и $O$, и $H$ лежат вне треугольника, но по одну и ту же прямую через $G$; порядок вдоль прямой по направлению от $O$ к $H$: $O-G-H$ (т.е. $G$ всегда между).
3) Примеры с координатами (все вычисления указаны)
- Острый (равнобедренный по оси $x$):
$A=(0,0),B=(2,0),C=(1,2)$.
$$G=\frac{A+B+C}{3}=(1,\frac{2}{3}),O=(1,\frac{3}{4}),H=(1,\frac{1}{2}).$$ Все три точки внутри; на общей вертикали $x=1$; $OG=\frac{1}{12},GH=\frac{1}{6}$ (отношение $1:2$).
- Прямой:
$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$.
$$G=(\frac{1}{3},\frac{1}{3}),O=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),H=(0,0).$$ $O$ — середина гипотенузы $((1,0)-(0,1))$, $H$ — вершина прямого угла, $G$ между ними.
- Тупой:
$A=(0,0),B=(1,0),C=(2,1)$ (угол при $B$ тупой).
$$G=(1,\frac{1}{3}),O=(\frac{1}{2},\frac{3}{2}),H=(2,-2).$$ Тут $O$ и $H$ лежат вне треугольника, но на одной прямой с $G$; $OH=3OG$.
4) Геометрические иллюстрации (описание)
- Острый: все три центра внутри; эйлерова прямая проходит через внутренние точки.
- Прямой: ортцентр совпадает с вершиной прямого угла; описанный центр — середина гипотенузы; G между ними.
- Тупой: описанный центр находится с той стороны от треугольника, где располагается длиннейшая сторона; ортоцентр выходит на противоположную сторону; $G$ остаётся внутри, между $O$ и $H$.
5) Дополнительные замечания
- В равностороннем треугольнике $O=G=H$.
- В равнобедренном треугольнике все три лежат на оси симметрии (медиане) и сохраняется отношение $OG:GH=1:2$.
Если нужно, могу нарисовать схематические рисунки (ASCII или векторные команды) для каждой ситуации.