Коротко и по существу: буду давать два варианта смысла задачи (она неоднозначна): 1) задан угол при одном конце большей базы (тогда решений бесконечно много) — приведу конструкцию одного решения и формулы; 2) задано, что оба угла при большей базе равны $\phi$ (обычная интерпретация «угол(ы) при базе») — тогда решение единственно и даю конструкцию через гомотетию. Потом — условия существования и способы контроля точности.
1) Если угол задан при одном конце большей базы (пусть большая база — $AB$, $AB=a$, угол при $A$ равен $\phi$, верхняя база длины $b$).
- Конструкция (один из бесконечных вариантов):
1. Постройте отрезок $AB$ длины $a$.
2. В точке $A$ постройте луч $l$, составляющий с $AB$ угол $\phi$.
3. Выберите высоту трапеции $h>0$ (произвольно, но удобно численно или по масштабу чертежа). На луче, перпендикулярном $AB$, отложите расстояние $h$ до линии, где будет верхняя база.
4. На луче $l$ найдите точку $D$ с вертикальной координатой $h$ (эквивалентно: отрезок от $A$ до $D$ равен $h/\sin \phi$).
формула для горизонтальной проекции: $x_D=h\cot \phi$.
5. Через $D$ проведите прямую, параллельную $AB$; на ней отложите от $D$ отрезок $DC$ длины $b$ вправо — получите точку $C$.
6. Соедините $B$ с $C$. Тогда $AB\parallel CD$, $AB=a$, $CD=b$, угол при $A$ равен $\phi$.
- Комментарий: тут параметр $h$ свободен, потому решений бесконечно много. Нет иных ограничений кроме $a>0,b>0$ и $0<\phi <\pi$ (чтобы луч был корректен).
2) Если подразумевается, что оба угла при большей базе равны $\phi$ (т. e. base angles at A and B are both $\phi$) — единственное решение.
- Идея: построить пересечение $O$ лучей из $A$ и $B$ под углом $\phi$; затем гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $t=\frac{b}{a}$ перевести $A\mapsto D$ и $B\mapsto C$. Тогда $CD\parallel AB$ и $CD=b$.
- Конструкция:
1. Постройте $AB$ длины $a$.
2. В точках $A$ и $B$ постройте лучи внутрь трапеции, составляющие с $AB$ угол $\phi$. Обозначьте их пересечение $O$ (должно существовать).
3. Постройте гомотетию центра $O$ с коэффициентом $t=\frac{b}{a}$: достаточно отложить на луче $OA$ точку $D$ такую, что $OD=t\cdot OA$, и на луче $OB$ точку $C$ такую, что $OC=t\cdot OB$. Простейшее построение масштаба $t$: по теореме о пропорциях (отрезок с делением в заданном отношении) или с помощью подобия: на одном луче отложить произвольный отрезок, на другом — отложить соответствующие части, провести прямые и параллельные (стандартная схема для умножения/деления отрезков).
4. Соедините $A-D$ и $B-C$. Получите трапецию $ABCD$ с $AB=a$, $CD=b$ и углами при $A$ и $B$ равными $\phi$.
- Условие существования: необходимо $0<\phi <\pi$ (лучи не параллельны), и нет другой дополнительной естественной ограничения, но обычно предполагают $a>b$ (иначе «большая база» была бы не $a$). Решение при $b>a$ тоже строится аналогично (коэффициент >1) — получится верхняя база длиннее нижней.
3) Обоснование правильности (кратко):
- В варианте 1: по построению угол при $A$ равен $\phi$, $CD\parallel AB$ и $CD=b$ по отложенному отрезку — все условия выполнены.
- В варианте 2: гомотетия с центром $O$ переводит отрезок $AB$ в отрезок $DC$ параллельный $AB$ и длиной $t\cdot a=b$. Точки $D,C$ лежат на лучах, задаваемых углами $\phi$, поэтому углы при базе равны $\phi$.
4) Контроль точности на бумаге:
- Используйте циркуль и линейку для точных отрезков; для углов — либо угломер, либо построение биссектрис/пересечений (компас‑линейка: перенос отрезка, построение параллельных через две точки).
- Проверки:
- измерьте отрезки $AB$ и $CD$ циркулем/линейкой (должны быть $a$ и $b$ в пределах погрешности).
- проверьте параллельность $AB$ и $CD$ с помощью равенства соответствующих углов или с помощью линейки (перенос линии).
- проверьте угол при $A$ (и при $B$ в варианте 2) угломером или через теорему о соответствующих углах при параллельных прямых.
- для варианта 2 дополнительно проверьте отношение $OD:OA=b:a$ (измерением или построением подобия).
- Ошибки: основное — погрешность при построении угла и при отложении отрезка $b$. При бумажном чертеже выбирайте масштаб, при котором $a$ и $b$ достаточно длинны (>3–4 см).
5) Контроль и реализация в геометрических программах (GeoGebra, Cabri, Cinderella и т. п.):
- Вариант 1: задайте точку $A=(0,0)$, точку $B=(a,0)$; постройте луч из $A$ под углом $\phi$ (команда rotate или ray); задайте параметр $h$ или параметр $t$ и найдите $D$ как пересечение луча с горизонталь $y=h$; через $D$ постройте отрезок длины $b$ параллельно $AB$.
- Вариант 2 (рекомендуемый — однозначный): постройте $A,B$; лучи под углом $\phi$ в $A$ и $B$; точка $O=$ их пересечение; примените команду Dilation[O,A,b/a] и Dilation[O,B,b/a] (или scale/Affine) — получите $D$ и $C$.
- Контроль точности: в софте задавайте длины и углы как точные числовые параметры, проверяйте измеренными значениями (команды Length, Angle), проверяйте условие параллельности (команда Parallel) и равенство отрезков (Equal). В системах CAS/геометрии можно потребовать точные (символьные) значения, тогда погрешности отсутствуют.
Краткие формулы полезные:
- горизонтальная проекция точки $D$ при заданной высоте $h$: $x_D=h\cot \phi$.
- коэффициент гомотетии для варианта 2: $t=\frac{b}{a}$.
Если нужно, могу дать пошаговую компас‑и‑линейка постройку для получения точки $D$ с $OD=\frac{b}{a}OA$ (деление отрезка в заданном отношении) — напишете, какой вариант вы хотите реализовать.