Коротко и по делу.
1) Условие вписанности (эквивалентность).
- Теорема. Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность тогда и только тогда, когда противоположные углы дополняют друг друга до $180^{\circ }$: $\angle A+\angle C=180^{\circ }$ (эквивалентно $\angle B+\angle D=180^{\circ }$).
- Доказательство.
- Если $ABCD$ вписан, то $\angle A$ и $\angle C$ — вписанные углы, опирающиеся на дополнительно покрывающие друг друга дуги, сумма соответствующих дуг равна $360^{\circ }$, поэтому
$$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}(\text{дуга}BC)+\frac{1}{2}(\text{дуга}AD)=\frac{1}{2}\cdot 360^{\circ }=180^{\circ }.$$ - Обратно, пусть $\angle A+\angle C=180^{\circ }$. Возьмём окружность $\omega$, проходящую через точки $A,B,C$. Наблюдение: вписанный угол, опирающийся на хорду $AC$ с одной стороны от неё, равен $\angle ABC$; с другой стороны от этой хорды вписанный угол равен $180^{\circ }-\angle ABC$. Из $\angle B+\angle D=180^{\circ }$ (следует из $\angle A+\angle C=180^{\circ }$ и суммы углов четырёхугольника) имеем $\angle ADC=180^{\circ }-\angle ABC$, т.е. $\angle ADC$ равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду $AC$ с другой стороны, поэтому точка $D$ лежит на $\omega$. Значит $A,B,C,D$ — вписанные.
2) Связь диагоналей (для вписанного четырёхугольника).
- Теорема Птолемея. Для вписанного $ABCD$ $$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$ Короткое доказательство: через подобие треугольников, получаемых при проведении вспомогательной параллели (или с помощью синусов: $AC\cdot BD=(AB\cdot CD+AD\cdot BC)$ следует из суммы двух выражений вида $2R\cdot (\text{сторона}\cdot \sin \angle )$), что даёт указанную формулу.
- Теорема о пересечении хорд. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $X$ (внутри окружности). Тогда по теореме о пересечении хорд
$$AX\cdot XC=BX\cdot XD.$$ Доказательство: в окружности при пересечении двух хорд произведения отрезков равны (получается из подобия пар треугольников, образованных при пересечении).
3) Связь биссектрис.
- Если противоположные углы дополняют до $180^{\circ }$, то их биссектрисы перпендикулярны: если $\angle A+\angle C=180^{\circ }$, то биссектрисы ${\ell }_A$ и ${\ell }_C$ внутренних углов $A$ и $C$ образуют угол
$$\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle C}{2}=\frac{\angle A+\angle C}{2}=90^{\circ },$$ значит ${\ell }_A\perp {\ell }_C$.
- Теорема о делении диагонали биссектрисой (применима в любом четырёхугольнике): если биссектриса угла $A$ пересекает диагональ $BD$ в точке $E$, то по теореме биссектрисы в треугольнике $ABD$ $$\frac{BE}{ED}=\frac{AB}{AD}.$$ Аналогично, биссектриса угла $C$, пересекающая $BD$ в $F$, даёт
$$\frac{BF}{FD}=\frac{CB}{CD}.$$ В случае вписанного четырёхугольника эти соотношения вместе с тождествами из Птолемея и из теоремы о пересечении хорд позволяют выводить дополнительные соотношения между отрезками диагоналей и сторонами (например, сравнивать частные деления диагонали биссектрисами противоположных углов).

4) Краткие выводы и замечания.
- Условие "противоположные углы дополняют до $180^{\circ }$" — необходимое и достаточное для вписанности.
- Для вписанного четырёхугольника ключевые алгебраические связи: Птолемей $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$ и равенство произведений отрезков при пересечении диагоналей $AX\cdot XC=BX\cdot XD$.
- Биссектрисы противоположных углов внутренних в таком четырёхугольнике перпендикулярны; биссектриса делит диагональ в отношении, равном отношению прилежащих сторон (теорема биссектрисы в соответствующем треугольнике).
Если нужно, могу привести полные пошаговые доказательства Птолемея и тождества для пересечения хорд и показать пример применения соотношений к конкретным числам.