Решение давайте в общем виде и на простом примере, затем укажу общий алгоритм аналитического изучения.
Пример (эллипс и семейство прямых). Пусть фиксирован эллипс
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$ и семейство прямых задаётся параметром $t$ через наклон и сдвиг, например
$$L_t:y=m(t)x+c(t),$$ где $m(t)$ строго возрастает по $t$.
1) Подстановка даёт квадратное уравнение по $x$:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(m(t)x+c(t){)}^2}{b^2}=1.$$ Приведённая форма:
$$A(t)x^2+B(t)x+C(t)=0,$$ где
$$A(t)=\frac{1}{a^2}+\frac{m(t{)}^2}{b^2},B(t)=\frac{2m(t)c(t)}{b^2},C(t)=\frac{c(t{)}^2}{b^2}-1.$$
2) Число точек пересечения для данного $t$ определяется дискриминантом
$$\Delta (t)=B(t{)}^2-4A(t)C(t).$$ Если $\Delta (t)>0$ — две разные точки, $\Delta (t)=0$ — касание (одна точка кратности 2), $\Delta (t)<0$ — нет действительных пересечений.
3) Поведение при изменении $t$. Так как $m(t)$ строго возрастает и коэффициенты непрерывно зависят от $t$, корни квадратичного уравнения (координаты точек пересечения) зависят непрерывно от $t$ при $\Delta (t)\ne 0$ (по теореме об неразрывной зависимости корней). Число пересечений может изменяться только при тех $t$, где $\Delta (t)=0$ (изолированные события касания). Таким образом аналитически всё сводится к исследованию функции $\Delta (t)$: её нулей и знака между ними.
4) Геометрическое место пересечений (траектории точек). Для каждого корня $x(t)$ получаем $y(t)=m(t)x(t)+c(t)$. Это даёт параметрическое представление геометрического места (обычно две ветви, соответствующие двум корням). Иногда можно устранить параметр $t$ (через результатант или явное выражение) и получить неявное уравнение множества пересечений.
5) Связь с оболочкой (envelope). Оболочка семейства прямых $L_t$ (множество точек, где прямая из семейства касается некоторой кривой) находится решением системы
$$F(x,y,t)=0,\frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0,$$ где $F(x,y,t)$ — выражение линейного уравнения $L_t$ (или система из уравнения прямой и уравнения кривой). Для нашего случая касание эллипса соответствует одновременному выполнению уравнения эллипса с $y=m(t)x+c(t)$ и $\Delta (t)=0$; это даёт параметрические уравнения точек касания, где число пересечений меняется.
6) Частный показатель (семейство прямых через начало). Для наглядности: если $c(t)\equiv 0$ и $m(t)=t$, т.е. $y=tx$, то подстановка в эллипс даёт
$$x^2(\frac{1}{a^2}+\frac{t^2}{b^2})=1\Rightarrow x=\pm \frac{ab}{\sqrt{b^2+a^2{t}^2}},y=tx.$$ Здесь $\Delta >0$ для всех конечных $t$, значит каждая прямая (кроме вертикальной при $t\to \infty$) пересекает эллипс в двух точках, которые параметрически задают две ветви геометрического места.
Итого — аналитические методы (подстановка, приведение к многочлену, дискриминант, явные корни, результатант, условие оболочки через $\partial /\partial t$) дают полный инструмент для:
- подсчёта числа пересечений (по знаку $\Delta (t)$);
- нахождения критических параметров, где число меняется ($\Delta (t)=0$);
- построения параметрического или неявного уравнения геометрического места пересечений;
- описания непрерывного движения точек пересечения и точек касания.