Уточнение (предположение). Под «соединить их» предполагаю, что искомая третья плоскость проходит по линии пересечения двух данных плоскостей $L$ (обычная инженерная постановка: плоскость-«стык», вращающаяся вокруг общего ребра). Если требуется иная связность — скажите.
Формулировка задачи.
Даны две наклонные плоскости ${\Pi }_1,{\Pi }_2$, пересекающиеся по общей прямой $L$. Найти плоскость $\Pi$, проходящую через $L$, такая что угол между $\Pi$ и горизонтальной плоскостью $H$ минимален.
Идея и оптимизационное соображение.
Все плоскости через $L$ получаются поворотом вокруг $L$; угол наклона плоскости к горизонту есть максимум углов наклона всех прямых в ней к горизонтали. Так как $L$ лежит в любой такой плоскости, нижняя граница возможного угла наклона равна углу наклона самой прямой $L$ к горизонту. Следовательно задача сводится к нахождению плоскости через $L$, для которой этот максимум равен именно углу $L$ — такая плоскость существует и единственна (кроме вырожденного случая, см. ниже).
Векторное доказательство (кратко).
Пусть направление $L$ задана вектором $\mathbf{l}$, вертикальная единица $\mathbf{k}=(0,0,1)$. Для плоскости, задаваемой базисом $\{\mathbf{l},\mathbf{v}\}$, её нормаль $\mathbf{n}=\mathbf{l}\times \mathbf{v}$. Косинус угла между нормалью и вертикалью пропорционален $(\mathbf{n}\cdot \mathbf{k})=((\mathbf{l}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{k})=((\mathbf{k}\times \mathbf{l})\cdot \mathbf{v})$. При выборе $\mathbf{v}$ оптимизация линейна и достигается при $\mathbf{v}\parallel (\mathbf{k}\times \mathbf{l})$. То есть плоскость оптимальна, когда она содержит вектор горизонтальной направления $\mathbf{k}\times \mathbf{l}$ (горизонтальный вектор, перпендикулярный проекции $L$ на горизонталь).
Геометрическая конструкция (практически, чертёжно):
1. Сделайте горизонтальную проекцию (план) прямой $L$ — получаете отрезок/прямую $l_h$.
2. Через произвольную точку $P\in L$ постройте в горизонтальной плоскости прямую $m$, перпендикулярную $l_h$.
3. Через $L$ и линию $m$ проведите плоскость $\Pi$ (ее можно задать по двум пересекающимся прямым $L$ и $m$, поскольку $m$ лежит в горизонтали, а $L$ — в пространстве).
4. Это и есть искомая плоскость с минимальным наклоном.
Формулы для угла.
Угол минимального наклона равен углу между $L$ и горизонталью:
$${\theta }_{\min }=\angle (L,H).$$ Если $\mathbf{l}=(l_x,l_y,l_z)$, то
$$\sin {\theta }_{\min }=\frac{|l_z|}{\Vert \mathbf{l}\Vert },\tan {\theta }_{\min }=\frac{|l_z|}{\sqrt{l_x^2+l_y^2}}.$$
Особые (вырожденные) случаи.
- Если $L$ горизонтальна ($l_z=0$) — минимальная плоскость может быть горизонтальной через $L$: ${\theta }_{\min }=0$.
- Если $L$ вертикальна ($\mathbf{l}\parallel \mathbf{k}$) — любая плоскость через $L$ перпендикулярна горизонту, ${\theta }_{\min }=90^{\circ }$; вектор $\mathbf{k}\times \mathbf{l}=0$ и конструкция даёт тривиальный вывод.
Замечания по приложению к двум плоскостям.
Тот факт, что у нас две исходные наклонные плоскости, влияет лишь на положение линии $L$. Если требуется дополнительно, чтобы третья плоскость удовлетворяла дополнительным ограничениям (например, проходила через заданные отрезки на ${\Pi }_1,{\Pi }_2$ или была касательной к ним с заданным углом), задача становится задачей оптимизации с ограничениями (вариация по повороту вокруг $L$), и применяется тот же метод поворота плюс проверка дополнительных условий; решение может стать единственным или отсутствовать в зависимости от условий.